第一章：数字与编码

模拟电路主要是处理连续变化的模拟信号（比如电压、电流的连续波动），而数字电路是处理离散的数字信号（仅用高/低电平表示0和1），模拟信号是大自然当中本身就存在的，而数字信号却是人为进行定义的，那么如何处理数字信号以及定义数字信号呢？这就需要进行进制编码。

0~9这是日常生活当中使用的十进制，当数值超过了9，就需要进位1，也就变成了10；而在计算机系统里面，由于只有（通电和断电）两种状态，因此将通电（1）定义为高电平和断电（0）定义为低电平，这就是“正逻辑”里面的二进制；同时早期的计算机字长为8位、12位或者16位，1Byte = 8bit,所以可以将八进制（基数8 = 2^3)按照二进制分为三位分组，十六进制分为四位分组。

 进制转换

（十进制和其他进制进行转换，其他进制和十进进行转换，二进制和八进制、十六进制转换）

一、原码、反码、补码：计算机如何表示正负

计算机中，数值以二进制补码为基础存储和运算，这是为了简化加减运算逻辑。以下是三种编码方式的对比（以 8 位二进制为例）：

1. 原码：符号位 + 数值位

• 规则：
  • 最高位（第 8 位）为符号位：0 表示正数，1 表示负数。
  • 剩余 7 位为数值位，直接表示绝对值的二进制。
• 示例：
  • +0：0000 0000
  • -0：1000 0000（注意：原码中 + 0 和 - 0 是不同编码）
  • +5：0000 0101
  • -5：1000 0101
• 问题：
  原码直接参与加减运算会出错（如 1 + (-1) 用原码计算为 00000001 + 10000001 = 10000010，即 -2，显然错误）。

2. 反码：原码符号位不变，数值位取反

• 规则：
  • 正数反码与原码相同。
  • 负数反码为原码符号位不变，数值位逐位取反（0变1，1变0）。
• 示例：
  • +5：0000 0101（与原码相同）
  • -5：1111 1010（原码1000 0101的数值位取反）
• 问题：
  虽然解决了部分加减问题，但仍存在 “+0” 和 “-0” 两种编码（00000000和11111111），浪费存储空间。

3. 补码：反码 + 1，计算机的实际存储方式

• 规则：
  • 正数补码与原码、反码相同。
  • 负数补码为反码加 1（即 “符号位不变，数值位取反加 1”）。
• 示例：
  • +5：0000 0101（与原码相同）
  • -5：
    • 原码：1000 0101
    • 反码：1111 1010
    • 补码：1111 1011（反码 + 1）
• 关键特性：
  • 消除 + 0/-0 歧义：补码中0只有一种编码0000 0000，1000 0000被定义为 **-128**（8 位补码的最小值）。
  • 简化运算：减法可转化为补码加法，如 1 - 1 = 1 + (-1) 的补码运算为：
    00000001 + 11111111 = 100000000（舍弃最高位进位，结果为00000000，即正确值 0）。

二、不同进制中的正负表示

进制（如八进制、十六进制）只是二进制的人类可读性表示形式，计算机内部始终用补码存储。正负的本质是二进制编码，与进制无关：

• 八进制：负数用前缀-表示，如-5的 8 位补码为03777773（八进制），对应二进制1111 1101。
• 十六进制：负数用前缀-或0x后接补码，如-5的 8 位补码为0xFB（十六进制），对应二进制1111 1011。

三、总结：计算机负数表示的核心逻辑

1. 符号位仅决定正负：最高位0为正，1为负，但数值部分需按编码规则计算（原码 / 反码 / 补码）。
2. 补码是核心：现代计算机几乎全用补码存储整数，通过 “取反加 1” 实现负数编码，消除 0 的歧义并简化运算。
3. 进制是表象：八 / 十六进制中的负数是二进制补码的转换结果，本质仍是二进制运算。

1. 格雷码（Gray Code）（这个后面经常用）

• 性质：相邻编码仅有一个比特位不同，属于可靠性编码，主要用于减少信号变化时的误判（如编码器、数字逻辑电路）。
• 应用：数字电路状态转换、模拟 - 数字转换（ADC）中的误差抑制。

2. 曼彻斯特编码（Manchester Encoding）（后面边沿触发会接触）

• 特点：每个比特周期内包含一次电平跳变，既传输数据又携带时钟信号，可通过跳变规律检测传输错误。
• 应用：以太网物理层、低速串行通信（如 USB 1.1）

第二章：逻辑运算与逻辑门

  OC 门和 OD 门的输出特性可概括为：

输入低电平时，输出端依靠外接上拉电阻才能稳定输出高电平；若无上拉电阻，输出悬空，电平不确定，并非低电平。

输入高电平时，输出端直接接地，无论是否有上拉电阻，均输出低电平（此时上拉电阻被短路，无拉高作用）。

一、OC 门（TTL 集电极开路门，Open Collector Gate）

1. 结构与原理（类比 “开关电路”）

• TTL 门电路：传统的 TTL 门（如与非门）输出级是两个三极管（一个 NPN 上拉，一个 PNP 下拉，也就是推挽输出），能直接输出高电平（接电源）或低电平（接地），不需要外接电阻。

• OC 门的 “特殊之处”：
  OC 门的输出级 去掉了上拉三极管，只剩下一个 NPN 三极管的集电极（Collector）悬空（开路），相当于输出端是一个 “悬空的开关”，只能控制接地（低电平），无法主动输出高电平。
  类比：就像你家里的灯开关，传统开关能同时控制接电源（开，高电平）和接地（关，低电平）；而 OC 门的开关只能接地（关灯，低电平），接电源的线（高电平）需要你自己接一根电线到电源（即外接上拉电阻）。

2. 为什么 “输入低电平，输出高电平”？

• 当 OC 门的 输入为低电平 时：
  输出端的三极管 截止（相当于开关断开），此时输出端没有接地，而是通过外接的上拉电阻连接到电源，所以输出被 “拉高” 为高电平（电源电压，如 5V）。

• 当 输入为高电平 时：
  三极管 导通（相当于开关闭合），输出端直接接地，输出低电平（0V）。
  关键点：OC 门自己不能输出高电平，必须靠外接的上拉电阻从电源 “拉” 高电平，这就是为什么需要上拉电阻！

3. 应用场景

• 电平转换：比如 TTL 电路（5V）要驱动 3.3V 的电路，通过调整上拉电阻的电源电压即可。

• “线与” 功能：多个 OC 门的输出端可以并联，共享一个上拉电阻，只要有一个 OC 门输出低电平，整体输出就是低电平（相当于多个开关并联接地，只要有一个开关闭合，整体接地）。

二、OD 门（CMOS 漏极开路门，Open Drain Gate）

1. 结构与原理（类比 “MOS 管开关”）

• CMOS 门电路：传统 CMOS 门输出级是一对互补的 MOS 管（PMOS 上拉，NMOS 下拉），能直接输出高 / 低电平。

• OD 门的 “特殊之处”：
  OD 门的输出级 去掉了 PMOS 上拉管，只剩下 NMOS 管的漏极（Drain）悬空（开路），相当于输出端只能控制接地（低电平），无法主动输出高电平（和 OC 门原理类似，但属于 CMOS 家族，用 MOS 管而非三极管）。
  类比：像一个只能关灯（接地）的 MOS 管开关，开灯（高电平）需要你自己接一根线到电源（外接上拉电阻）。

2. 为什么 “输出默认是低电平，需要上拉电阻拉高”？

• 当 OD 门 不接上拉电阻时：
  如果 NMOS 管截止（开关断开），输出端悬空。在 CMOS 电路中，悬空的电平是不确定的（可能飘移），但实际中如果没有上拉，可能被干扰成低电平或高电平，不安全。

• 当 接上拉电阻后：

  • 若 NMOS 管截止（输入低电平），输出通过上拉电阻接电源，输出高电平；

  • 若 NMOS 管导通（输入高电平），输出接地，输出低电平。
    你的困惑点解答：OD 门不是 “输出都是低电平”，而是 “不接上拉电阻时无法确定电平”，必须接上拉电阻才能正常输出高电平，默认状态（截止时）靠上拉电阻拉高。

3. OC 门 vs OD 门

• 相同点：都需要外接上拉电阻才能输出高电平，都能实现 “线与” 功能。

• 不同点：

  • OC 门属于 TTL 电路，用三极管，电源通常是 5V；

  • OD 门属于 CMOS 电路，用 MOS 管，电源电压灵活（可接 3.3V、5V 等），功耗更低。

三、三态门（三态缓冲器，Tri-State Gate）

1. 三个状态：高电平、低电平、高阻态（重点！）

• 高电平（1）：正常输出高电平，相当于接通电源；

• 低电平（0）：正常输出低电平，相当于接地；

• 高阻态（Z）：相当于输出端 完全断开（既不接电源也不接地），就像把输出端 “悬空”，对外电路没有影响。
  类比：想象一个开关有三个档位：

  • 开（高电平，接电源）、关（低电平，接地）、悬空（高阻态，开关断开，不接任何东西）。

2. 工作原理

• 三态门比普通门多一个 使能信号（Enable，EN）：

  • 当 EN=1（使能有效） 时，三态门正常工作，输出高或低电平；

  • 当 EN=0（使能无效） 时，输出端的上拉和下拉电路都断开，进入高阻态，相当于 “断开连接”。
    关键点：高阻态时，三态门就像从电路中 “消失” 了，其他设备可以自由使用这条信号线。

3. 为什么需要高阻态？—— 解决总线冲突！

• 总线（Bus）场景：比如计算机的数据线，多个设备（如 CPU、内存、硬盘）需要共享同一根线。如果每个设备的输出都是普通门，当两个设备同时输出不同电平时，会导致短路（比如一个输出高电平，一个输出低电平，电源和地直接相连）。

• 三态门的作用：每次只有一个设备的使能信号有效（输出高 / 低电平），其他设备处于高阻态（相当于断开），这样就不会冲突了，实现 “分时复用”。
  类比：就像一群人轮流用麦克风讲话，没轮到的人把麦克风关掉（高阻态），避免声音混杂。

第三章：布尔代数（0/1）与逻辑函数化简

布尔代数其实就是“真”和“假”进行区分；同时逻辑函数化简的方法有两种，一个是代数法（记忆公式),化简成最简式后写出真值表，或者由真值表写出代数表达式；还有一种就是卡诺图化简法，需要学习最小项的概念！

一、最小项

对于有 n 个变量的逻辑函数，最小项是一种特殊的乘积项，每个变量都以原变量（如 A）或反变量（如 Aˉ）的形式出现且仅出现一次。例如：

• 两变量 A、B 的最小项有 AˉBˉ、AˉB、ABˉ、AB，共 22=4 个。
• 三变量 A、B、C 的最小项有 23=8 个，如 AˉBˉCˉ、AˉBˉC 等。

为方便表示，最小项常用 mi​ 编号，下标 i 是最小项对应二进制数的十进制值。以三变量为例：

编号 mi​	最小项	对应二进制（A,B,C）
m0​	AˉBˉCˉ	000
m1​	AˉBˉC	001
m2​	AˉBCˉ	010
m3​	AˉBC	011
m4​	ABˉCˉ	100
m5​	ABˉC	101
m6​	ABCˉ	110
m7​	ABC	111

这就是最小项的表，它穷举了所有变量组合的最小项，是卡诺图化简的基础。

二、卡诺图

卡诺图是一种方格阵列图，每个方格代表一个最小项，方格数为 2n（n 为变量数）。其特点如下：

• 变量排列：不按二进制顺序，而是按循环码（格雷码）排列，确保相邻方格只有一个变量不同。例如，三变量卡诺图的行或列按 00,01,11,10 排列，这样 00 和 01 相邻（仅 B 从 0 变 1），01 和 11 相邻（仅 A 从 0 变 1）等。

• 逻辑相邻：几何位置相邻的方格，逻辑上也相邻（只有一个变量互补）。例如，m1​(AˉBˉC) 和 m3​(AˉBC) 相邻，可合并消去 B，得到 AˉC。

三、卡诺图化简

卡诺图化简逻辑函数的核心是合并相邻最小项，消去互补变量，使表达式最简。步骤如下：

1. 表示逻辑函数：将逻辑函数转换为最小项表达式，在卡诺图对应方格填 1，其余填 0。

2. 画卡诺圈：

   • 圈住填 1 的方格，圈的大小必须是 2m（m 为整数，如 2,4,8 个方格），因为这样才能消去 m 个变量。

   • 圈要尽可能大（消去变量多）、尽可能少（减少项数），且每个圈至少包含一个未被圈过的 1。

3. 写出最简式：每个圈对应一个乘积项，圈内不变的变量保留（原变量或反变量看取值），变化的变量消去。最后将所有圈的乘积项相加。

示例：化简 F=∑m(1,3,5,7)（三变量）。

• 卡诺图中 m1​(AˉBˉC)、m3​(AˉBC)、m5​(ABˉC)、m7​(ABC) 填 1。

• 圈这四个方格，发现无论 A、B 如何变化，C 始终为 1（不变），A、B 都有 0 和 1（变化），消去 A、B，得到 F=C。

四、总结

• 最小项：逻辑函数的 “基本单元”，每个变量以原 / 反形式出现一次。

• 最小项的表：穷举所有最小项及其编号，方便在卡诺图中定位。

• 卡诺图：用方格表示最小项，通过相邻方格合并简化逻辑函数。

• 卡诺图化简：利用相邻最小项合并消去变量，圈的大小为 2m，最终得到最简逻辑表达式。