Analog

by Ali Hajimiri

最近感觉自己对于模拟电路的掌握存在不足，想系统化重新走一遍模拟电路的学习路径。在B站上发现 Ali Hajimiri大师的教学许多同学都很肯定，于是决定根据 Ali Hajimiri的手稿开一篇学习笔记。

前言

在前言中，Ali认为许多人对电路设计的基本原理和潜在的思维过程没有足够的关注。在他看来，方法可以分为几个类别之一（或组合）。一些人专注于基于符号和代数分析的“精确分析”，这种分析几乎失去了实际电路的本质，必须使用各种近似方法从一堆术语下面挖掘出来。在这个现象的另一端，还有一些人试图以过度简化为代价来提供直觉，这有时会导致明显错误的结果。
一般意义上的“精确分析”只是一个神话，为了达到等效模型的电路分析，这种近似化的手动计算经过了多次不同层次的抽象。考虑到电路模拟器的强大和广泛可用性，在大多数情况下，仅仅为了预测结果而对电路进行精确（甚至近似）分析是徒劳的。
上述论点并不意味着手工分析没有价值，恰恰相反，这意味着我们需要更加精通分析才能有效地设计电路。手工分析是一种非常有用的工具，它可以帮助优秀的设计者理解电路设计中涉及的不同特性，并了解电路中各种特性的相对强度。一般来说，手工分析不是计算机模拟的替代品，而应该是计算机模拟的补充。
所有电路分析方法都有一定近似性，这是因为在电路理论中我们常采用理想化模型来分析。比如用节点分析法计算线性电路，本身就是对现实的简化；即便是用电脑软件仿真，结果也依然受限于模型精度。因此，哪怕是最高级的分析工具，本质上和节点分析法的理论准确性是同一层次的。
为了能够理解适当的分析工具，设计师必须深刻理解每个工具的功能和局限性。虽然可能
日常设计中80%的问题可以使用最简单的分析技术来处理，这些问题通常被认为是微不足道的，并且可以快速解决。另一方面，剩下的20%的挑战却花费了设计师80%（有时甚至更多）的时间。
1.设计导向工具具有模块化特性，能够逐步逼近问题，获得更准确的结果。
2.节点分析虽然强大，但需要完成整个分析，结果常常需要简化。
4.设计导向工具能够帮助识别电路中的主要限制效应，集中精力解决最重要的问题。
5.学习过程从简单的工具开始，逐步推进到更复杂和精确的工具，直到达到最通用的工具。
学习是归纳过程（自上而下）：从具体的观察开始，通过总结和推理得到一般的规则或结论。它是一个逐渐从简单到复杂的过程，能够帮助我们从少量的例子中进行推理和理解。
推理是演绎过程（自下而上）：从已有的知识或规则出发，应用到具体的情况中，通常比较精确。

第一章 基础物理学

宏观特性

任意材料的电阻与其长度成正比，与其截面面积成反比（图1.1）
不同材料的电阻率示意图

conductor 导体
semiconductor 半导体
insulator 绝缘体

这里提出疑问，为什么不同材料的电阻率差的这么多？

微观视角

以一个氢原子为例子讲解，引出电子迁移的能级现象

德布罗意波长与氢原子稳定轨道的关系

德布罗意波长（de Broglie wavelength）是由法国物理学家路易·德布罗意于1924年提出的一个概念，描述了物质粒子（如电子、质子等）也具有波动性质。
根据德布罗意的假设，任何具有动量$p$的物体，都可以关联一个波长 λ 。这个波长通过以下公式计算：
$$\lambda =\frac{h}{p}$$
其中：

1.λ 是德布罗意波长，
2.$h$是普朗克常量，$h\approx 6.626\times 10^{-34}J\cdot s$
3.$p$ 是物体的动量，动量 $p=mv$, $(m)$ 是物体的质量，$(v)$是物体的速度。

德布罗意波长的意义在于，它表明了所有物质都有波动特性，即使是我们通常认为是“粒子”的物体。比如，电子在原子内部的运动就可以用波动性来描述，这为后来的量子力学理论，尤其是波粒二象性的理解，奠定了基础。

对于一个氢原子，其核心是一个质子，它带有正电荷，外部围绕氢原子核旋转的是一个电子。
质子位于原子核中，其质量大约为 $1.67\times 10^{-27}kg$。
电子，带有负电荷，质量比质子小得多，大约为 $9.11\times 10^{-31})kg$。
在经典的氢原子模型中，电子围绕质子以某种特定的轨道运动。

为了使电子在原子中具有稳定的轨道，波长必须形成“驻德布罗意波”。换句话说，为了保证电子的轨道稳定，必须要求电子的波动在绕原子核运动一圈后能够完全“匹配”自己。这意味着，电子的波长必须与轨道的周长相适配。图3，图4分别为玻尔模型氢原子，电子在轨道上的驻波。
这种驻波的条件是：轨道的周长必须是波长的整数倍。这意味着，电子的波长 $\lambda$必须满足以下条件：
$$n\lambda =2\pi r=\frac{nh}{p}$$
其中：

1.$n$是正整数，表示波的谐振模式（量子数），
2.$\lambda$是电子的德布罗意波长，
3.$r$ 是电子绕原子核运动的轨道半径。

从而，电子的波动与其轨道的几何结构相匹配，只有当电子的波长满足这个条件时，才会形成稳定的轨道，避免波动的干涉消除。

波尔氢原子模型

库仑力描述了两点电荷之间的相互作用力，其公式为：
$$F_{\text{库伦}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

其中：

• $F_{\text{库伦}}$ 是两电荷 ( $q_1$ ) 和 ( $q_2$ ) 之间的库仑力（单位：牛顿，N）， ( $q_1$ ) 和 ( $q_2$ ) 是两点电荷的电量（单位：库仑，C），
• $r$ 是两电荷之间的距离（单位：米，m），
• ${ϵ}_0$ 是真空的电常数（也称为电介质常数），其值为 $${ϵ}_0\approx 8.854\times 10^{-12}{\text{C}}^2/(\text{N}\cdot {\text{m}}^2)$$
• $4\pi {ϵ}_0$ 这一项常常出现于电磁学的公式中，是库仑定律中用来量化电力的常数。

这个公式描述了两点电荷间的相互作用力，它是一个与电荷大小成正比、与电荷间距离的平方成反比的力。

在氢原子中，质子和电子之间的库仑力也遵循上述公式。质子和电子的电荷分别为 $+e$ 和 $-e$,$e$是基本电荷，$e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$，它们之间的相互作用力公式为：

$$F_{\text{库伦}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{e^2}{r^2}$$
其中：

• $e$是电子的基本电荷，$e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$

根据牛顿第二定律，
$$F_{\text{库伦}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{e^2}{r^2}=ma=m\frac{v^2}{r}=\frac{p^2}{mr}$$

利用驻波条件和上述方程，n是一个正整数，其余表示的参数都是确定值，所以两个方程，求两个未知数p和r：
$$n\lambda =2\pi r=\frac{nh}{p}$$
$$\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{e^2}{r^2}=m_{0}a=m_0\frac{v^2}{r}=\frac{p^2}{m_{0}r}$$

这样，我们得到（玻尔氢模型）：
$$p=\frac{m_0}{2{ϵ}_0}\frac{e^2}{nh}$$
$$r=\frac{n^2{h}^2{ϵ}_0}{\pi m_0{e}^2}$$
总能量为动能和势能之和：
$$\begin{gathered} E_n=E_p+E_k \\ =-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{e^2}{r}+\frac{m_0{v}^2}{2} \\ =-\frac{p^2}{2m} \\ =-\frac{m_0{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}\frac{1}{n^2} \\ =-\frac{13.6eV}{n^2} \end{gathered}$$
因此，对于负的电子总能量，电子只能具有一定的能量值。注意，对于正能量，即无界电子，能带是连续的。如图1.5所示。

电子能级能带关系

当两个原子相距很远时，它们的电子可以具有相似的能级，因为电子具有不同的空间属性，如图1- 6所示。然而，一旦原子核彼此靠近，由于泡利不相容原理，电子不能占据完全相同的能带，因此能带将分裂并简并，如图1.7所示。这个性质可以追溯到泡利的不相容原理。

泡利不相容原理指出，在一个原子或分子中，两个或更多的电子不能具有完全相同的四个量子数（包括主量子数 ($n$)、轨道量子数 ($l$)、磁量子数 ($m_l$)、自旋量子数 ($m_s$)）。换句话说，任何两个电子在同一轨道上必须具有不同的自旋，或者它们必须处于不同的能级、轨道或取向中。这个原理是理解电子如何排列在原子中的关键，决定了元素的化学性质和原子结构。

有兴趣的同学可了解下电子的自旋、简并 泡利不相容原理——理解世界的关键

随着更多的原子核聚集形成晶体格点，能级会分裂成更多、相距较近的能级。对于实际的材料，能级数量变得非常大，以至于它们实际上形成了“能带”，并且这些能带之间有禁止的能量区域，称为“带隙”，如图1.8所示。这个效应可以通过观察碳原子在从无限远处逐渐靠近时的能带结构来更好地理解。图1.9中展示了原子间距与能带的关系图。

电阻率不同的本质原因

周期表中的IV族元素，如碳、硅和锗，具有金刚石晶格结构。在这种结构中，每个原子将其最外层的4个电子与四个相邻原子共享，形成共价键。该结构可以用图1.10中的二维图示来表示。每条线表示一个电子，两条平行线表示两个自旋相反的电子形成一个共价键。

在0K时，所有电子都已经形成了共价键，因此没有电子可以自由移动。这个概念也可以通过右侧的能带图来理解。低能带中的所有状态（称为价带）都已填满，因此没有单个电子能够移动。而高能带（称为导带）是空的（没有弱键电子）。价带中的电子无法形成净电流，因为没有空闲的状态。同样，导带中没有自由电子。事实上，纯金刚石和硅可以被归类为绝缘体。一个有用的类比是两个玻璃圆柱体，一个完全充满水，另一个则是空的。半导体中外部电场的作用类似于倾斜时施加在水分子上的重力（如图1.11所示）。在这种情况下，水的净流动为零，因为没有空间让水流动（没有空闲的状态）。

材料的电阻率可以通过其能带图来解释。影响材料电阻率的两个因素是：

• 带隙（Bandgap）：带隙是指价带和导带之间的能量差。带隙越大，材料越不容易导电，因为电子需要更多的能量才能从价带跃迁到导带。对于绝缘体，带隙非常大，因此几乎没有电子能够从价带跃迁到导带。而对于半导体和导体，带隙较小或不存在，电子更容易跃迁到导带，从而增加电导率。

• 每个能带中的电子数量：每个能带中电子的数量也影响材料的电阻率。如果价带中的电子数量多，且带隙较小，电子更容易跳跃到导带，从而提高导电性。反之，如果价带电子数量少，导带中的电子数量少，电流流动性差，电阻率就会较高。

绝缘体通常具有较大的带隙（大于 4 电子伏特），价带完全填满，导带为空。纯半导体在满带和空带方面与绝缘体相似，但带隙较小（在 0.5 电子伏特到 3 电子伏特之间）。导体要么是导带和价带重叠（无带隙），要么是导带部分填满，如图 1.12 所示。

在高于0K的温度下，一些电子有足够的热能穿过带隙，最终进入导带。这个过程导致导带中有一个电子，价带中有一个空态。
这个过程如1.13所示。

导带中的电子可以自由移动，因为它周围有许多空闲的状态。而价带中的“空穴”也可以移动，因为相邻的电子填补了空穴，并留下一个类似的“空穴”。需要注意的是，空穴所在的区域具有正电荷。因此，空穴可以被视为价带中带有正电荷（+e）的“粒子”。

回到水满的圆柱体的类比，如果我们将少量水从下方的圆柱转移到上方的圆柱，下方的圆柱中会形成一个气泡，而上方的圆柱中会形成一个水滴。在半导体材料中，空穴-电子对的行为与水满圆柱体中的气泡-水滴对的移动有些相似（如图1.14所示）。这种类比帮助我们理解半导体中电子和空穴的相互作用及其如何影响电流的流动。

有两种方法可以追踪下方圆柱中气泡的运动。一种方法是追踪所有剩余水分子的位置。然而，想象气泡作为一个带有负质量的粒子，并计算其在液体中的粘滞力以及运动方程会更容易。同样，追踪空穴比追踪价带中的所有电子要简单。因此，从现在开始，我们将空穴视为价带中带有正电荷（+e）的真实粒子。
在导带中的自由电子有可能遇到半导体中的另一个空穴，并跃迁到价带。当这种情况发生时，电子和空穴都会消失。这个过程是电子-空穴对的反向过程，称为复合（recombination）。在稳态下，并且在没有外部影响的情况下，复合率等于生成率。（否则，自由载流子数量会不断增加或减少，从而违反稳态的定义）。