1.2 pn结二极管

结型二极管由两个相互接触的n型和p型半导体组成。实际上，这种结是由一块在不同位置掺杂不同程度的半导体材料制成的。首先我们讨论pn结的热平衡行为。

1.2.1 pn结的热平衡行为

在绝对零度 T = 0K时，p型材料中的受主和n型材料中的施主均未电离，材料和能带图如图所示1.25. 当温度升高到0K以上时，n 型材料中的施主处释放自由电子，p 型材料中的受主位置吸收自由电子（或“释放空穴”）。这些电子和空穴是由于热能的作用而释放的。

晶格的热能也使得这些自由电子和空穴发生运动。每个自由载流子的热运动是完全随机的。在它们的随机运动过程中，电子可能最终进入 p 区，而空穴则进入 n 区。一旦进入对方区域，它们会遇到大量具有相反电荷的自由载流子，并有很大的机会发生复合。由于这种复合，接近结区的区域会变得缺乏自由载流子，因此被称为耗尽区。
随着电子和空穴的复合，它们分别在 n 型和 p 型材料的结边缘留下正负静止离子。结两侧的离子形成一个电场，阻止电子进一步向 p 区运动，空穴向 n 区运动，正如图 1.26 所示。

由于电子和空穴的热能导致的运动与由已建立电场所引起的反向运动达到了平衡。当温度升高到室温时，所有的施主和受主处都被电离，能带图将如图 1.27 所示。

已建立的电场对应于内建电势 ( $\phi 0$ )，它是 p 区和 n 区电势降落的总和，即 ( $q\phi 0=E_{i,n}-E_{i,p}$ )，其中 ( $E_{i,n}$ ) 和 ( $E_{i,p}$ ) 分别是从结区到 n 区和 p 区的能量偏移。我们注意到，在室温下，所有掺杂物都是电离的，因此，n 区的电子密度为 ( $n=N_D$ )，p 区的空穴密度为 ( $p=N_A$ )。使用公式 (1.17)，我们可以计算出内建电势 ( ${\phi }_0$ ) 如下：
$$n=n_i\cdot e^{(E_f-E_i)/kT}$$
$$p=n_i\cdot e^{(E_i-E_f)/kT}\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

$$\phi 0=\frac{Ei,n-Ei,p}{q}=\frac{kT}{q}\ln \left(\frac{N_A{N}_D}{n{i}^2}\right)\text{\hspace{1em}(1.26)}$$
其中 ( $k$ ) 是玻尔兹曼常数，( $T$ ) 是温度，( $n_i$ ) 是本征载流子浓度。
n 型材料中的导带电子和 p 型材料中的价带空穴大致服从玻尔兹曼分布。因此，在稳态下，具有足够能量越过内建势垒的电子数目与 ( $e^{-q{\phi }_0/kT}$ ) 成正比，其中 ( $q{\phi }_0$ ) 是势垒的高度（见图 1.28）。空穴的情况也是如此，正如图 1.28 所示，只有热能高于势垒高度的电子才能越过该势垒。

接下来我们集中讨论电子。在耗尽区，尽管自由电子和空穴的数量很少，但偶尔会发生热生成现象，产生电子-空穴对。当这种情况发生时，电场会将空穴推向 p 区，将电子推向 n 区。如果没有外加电压作用于结区，电子和空穴的热运动产生的电流与由内建电场和热生成引起的电流大小相等，但方向相反。这种平衡是必要的，因为在结区没有净电流流动。

1.2.2 外加电势的影响

正向电压

现在假设一个外加正向电势作用于结区，如图 1.29 所示。

这样会迫使更多的电子进入 n 区，更多的空穴进入 p 区，从而缩小耗尽区并降低势垒电势，如图 1.30 所示。
此时，更多的电子拥有足够的热能越过该势垒。这些电子的数量与 ( $e^{-\frac{q(\phi 0-VD)}{kT}}$ ) 成正比，其中 ( $q(\phi 0-V_D)$) 是新势垒的高度。假设由于电场产生的电流与没有施加外部电场时保持相同，则净电流将与具有足够热能越过势垒的额外电子的数量成正比。

• 这个假设严格来说并不完全成立，因为结区的电场会发生变化；然而，这对最终结果的影响并不显著。

那些具有能量介于 ( $q(\phi 0-V_D)$ ) 和 ( $q{\phi }_0$) 之间的电子的数量为：
$$N_e[q({\phi }_0-V_D)<E<{\phi }_0]\propto e^{-\frac{q(\phi 0-VD)}{kT}}-e^{-\frac{q\phi 0V_D}{kT}}\propto e^{\frac{q{V}_D}{kT}}-1\text{\hspace{1em}(1.2.27)}$$
对空穴也有相同的比例关系。由于净电流与越过势垒的电子和空穴的数量之和成正比，因此，净电流可以写为：
$$I(V_D)=I_S\left(e^{\frac{q{V}_D}{kT}}-1\right)\text{\hspace{1em}(1.2.28)}$$
其中 ( $I_S$ ) 是一个比例常数。

• 从推导可以很容易看出，( $I_S$ ) 本身必须与结区的面积成正比。换句话说，在相同电压下，若结区的面积增加一倍，电流也将增加一倍。一个简单的证明方法是注意到，可以通过将两个相同的结区并排放置，得到一个面积是原结区两倍的新复合结区。这个新的复合结区会承载两倍的电流。

系数 ( $\frac{kT}{q}$ ) 常常简写为 ( $V_T$ )，在 300K（室温）时其值为 25.8mV。

反向电压

接下来我们来看施加反向电压导致PN结反向偏置结的情况。施加一个反向电势将增加耗尽层的宽度，如图 1.31 所示。

耗尽层宽度的增加是为了适应结区的更大电势差，从而提升内建电场。这等同于提高势垒的高度（如图 1.32 所示），从而导致拥有足够热能越过势垒的电子数量减少。

同样假设电场引起的电流不会发生显著变化，具有足够热能越过势垒的电子数量相比于电场产生的电流变得微不足道。因此，净反向电流将是 ( $-I_S$ )。方程 (1.28) 同样预测了这一行为，因为在推导过程中没有假设 ( $V_D$ ) 的符号。因此，方程 (1.2.28) 对于正向和反向偏置的二极管都是适用的。

1.2.3 结电容

PN结的耗尽区类似于电容，因为负电荷和正电荷分别储存在结的两侧。电荷依赖于结区的电位降，这与电容器的行为一致。

• 在PN结中，耗尽区两边的电荷是固定的（即正负电荷）。这些电荷虽然不能移动，但如果施加电压改变了结的电位，那么耗尽区的电荷量也会发生变化。为什么呢？
  当施加电压时，电场的变化会引导自由电子（在n型区）和空穴（在p型区）流入（或流出）耗尽区。这个过程类似于电容器中的电荷流动——就像在平行板电容器中，电压变化会导致电荷在电容器两板之间的移动。
  因此，这种电荷流动的变化使得PN结的电容发生变化。由于这些电荷的移动是由电压变化引起的，所以这个结电容是基于小信号的——也就是说，结电容的变化是对微小电压变化的响应。
  简单来说，PN结的电容就像电容器一样，电压变化会引起电荷的流动，进而导致电容的变化。这个电容的定义适用于小信号分析，也就是对微小电压变化的响应。

为了计算结区的电容，我们需要将耗尽区的宽度表示为 ( $V_D$ ) 的函数。PN结单位面积的电容由以下公式给出：
$$C=\frac{{ϵ}_S}{x_n+x_p}\text{\hspace{1em}(1.29)}$$
其中，( ${ϵ}_S$ ) 是半导体材料的介电常数，( $x_n$ ) 和 ( $x_p$ ) 分别是n型和p型材料中耗尽区的宽度，如图1.33所示。

继续假设掺杂剖面在结处变化非常迅速。为了保持电荷中性，n型材料中的离子总电荷应当等于p型材料中的离子电荷，即：
$$x_n{N}_D=x_p{N}_A\text{\hspace{1em}(1.30)}$$
其中，( $N_A$ ) 和 ($N_D$ ) 分别是p型和n型材料中的掺杂浓度。电场可以通过高斯定律在任何位置进行计算。电场在结处最大，其最大值为：
$$E_{\text{max}}=\frac{q{N}_A{x}_p}{{ϵ}_S}=\frac{q{N}_D{x}_n}{{ϵ}_S}\text{\hspace{1em}(1.31)}$$
这个电场的表达式可以更加对称地写成：
$$E_{\text{max}}=\frac{q}{{ϵ}_S}\cdot \frac{N_A{N}_D}{N_A+N_D}(x_n+x_p)\text{\hspace{1em}(1.32)}$$
电势是电场在结区内积分的负值。换句话说，结区的电势降落等于电场图下的面积。因此，n型和p型耗尽区的电势降落分别为：
$${\varphi }_n=\frac{E_{\text{max}}{x}_n}{2},{\varphi }_p=\frac{E_{\text{max}}{x}_p}{2}\text{\hspace{1em}(1.33)}$$
因此，结区的电势降落由这两个项的和给出，即：
$$0-V_D={\varphi }_n+{\varphi }_p=\frac{E_{\text{max}}(x_n+x_p)}{2}=\frac{q}{2{ϵ}_S}\cdot \frac{N_A{N}_D}{N_A+N_D}(x_n+x_p{)}^2\text{\hspace{1em}(1.34)}$$
通过解这个方程来求得耗尽区宽度，我们得到：
$$x_d\equiv x_n+x_p=\sqrt{\frac{2{ϵ}_S}{q}\left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)({\varphi }_0-V_D)}\text{\hspace{1em}(1.35)}$$
从（1.35）中可以得出几点结论。首先，耗尽区的宽度，决定结电容，主要由掺杂浓度较轻的一侧（即较小的 ( N )）主导。其次，耗尽区的宽度对于突变型结，随结电压降的平方根增长。这应该是直观的，因为在电场与位置的图像中，结宽度加倍将使图下的面积增加四倍（曲线的斜率由掺杂浓度控制，因此是常数）。使用（1.29）和（1.35），可以很容易地计算出突变型结的结电容为：
$$C_j=\sqrt{\frac{q{ϵ}_S}{2}\left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)({\varphi }_0-V_D)}=\frac{C_{j0}}{\sqrt{\left(1-\frac{V_D}{{\varphi }_0}\right)}}\text{\hspace{1em}(1.36)}$$
其中，( $C_{j0}$ ) 是零外部偏压下的结电容。如所见，结电容是电压相关的，因此表现为一个非线性电容器。需要注意的是，分母中上述的 ( $\frac{1}{2}$) 指数直接来源于突变型结的假设。
我们可以使用图1.34来看掺杂剖面如何影响指数。

让我们考虑一个线性梯度结的情况。如果结的掺杂剖面不是突变的，而是线性变化（即线性梯度结），那么掺杂浓度随位置（x）线性变化。因为电荷密度是线性变化的，所以电场（电荷密度的积分）随x会呈二次方关系变化，因此电势（电场的积分）将与 ( $x^3$ ) 成正比。在这种情况下，耗尽区宽度将与 ( $({\varphi }_0-V_D{)}^{\frac{1}{3}}$ ) 成正比，因此结电容将为：
$$C_j=\frac{C_{j0}}{{\left(1-\frac{V_D}{{\varphi }_0}\right)}^{\frac{1}{3}}}\text{\hspace{1em}(1.37)}$$
实际上，不同的结有不同的掺杂剖面，因此分母的指数可能与上述值不同。这个指数通常表示为 $m$。