阵列导向矢量（Array Response Vector／Steering vector）

在学习这篇文献 (Xu and Zhang et al. 2022)¹ 的时候，发现其中有用到 Steering vector 这个概念来表示电磁波到达或者离开天线阵列的相位差。由于文章中描述不够详细，参考 (Alkhateeb 2019)² 这篇DeepMIMO 数据集中的描述，对阵列导向矢量的表达式进行一些推导。

阵列导向矢量描述的是：相邻接收/发送天线之间信号的相位差。

ULA 均匀线阵推导

假设有如下排布的水平天线整列

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天线从左往右线性排列，编号从 $0$ 开始，一直到 $N-1$ 。电磁波和法线的夹角定义为入射角 $\theta$，两个向量天线之间的间隔定义为 $d$。那么，可以很快速的得到图中紫色线段的长度为：

$$\Delta L=d\sin \theta$$

那么，第0个和第1个天线之间的相位差就可以表示为 $\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta$，由此可以得到整个天线阵列的导向矢量，以0号天线为参考点，表示为指数形式

$$\mathbf{a}={\left[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta },\cdots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(N-1\right)\sin \theta }\right]}^T$$

UPA 均匀平面阵

如下图所示，在 $zoy$ 平面上，放置有一个 $M_H\times M_V$ 大小，各部分间距为 $d_H=d_V=d$ 的平面天线整列。入射的平面波，方位角为 $\phi$ ，俯仰角为 $\theta$，图中表示为 $\mathbf{k}\left(\phi ,\theta \right)$。

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$z$ 轴方向（Vertical Axis）

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从图中可以看出，相邻两个天线所接收到的电磁波的路径差值为 $d\sin \theta$。因此，和上面的线性阵列同理，在 $z$ 轴方向上，相邻两个天线所接收到的电磁波的相位的差值也为 $\Delta {\varphi }_z=\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta$

$y$ 轴方向（Horizontal Axis)

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从图中可以看出，在 $y$ 轴方向上，传播路程的差值就是紫色线段的长度！我们只需要求解到这个紫色线段 $\mathrm{OH}$ 的长度就好啦~

在 $△\mathrm{OHG}$ 中，$\frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OG}}=\cos \gamma$。同理，在 $△\mathrm{OKG}$ 中，$\frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OK}}=\cos \gamma$。由此可得

$$\frac{\mathrm{OH}}{d}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

因为，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 并且 $\cos \theta =\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$。因此，紫色线段 $\mathrm{OH}$ 的长度就可以直接得到了

$$\mathrm{OH}=d\sin \phi \cos \theta$$

则这两个水平天线之间的相位差为

$$\Delta {\varphi }_y=\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \phi \cos \theta$$

综合 $z$ 轴方向和 $y$ 轴方向

把两个方向上的相位差联合起来看，如果两个天线之间，在水平方向上间隔 $M_H-1$，在竖直方向上间隔 $M_V-1$（也就是原点的天线和右上角的天线），则他们之间的相位差可以表示为

$$\Delta \varphi =(M_H-1)\Delta {\varphi }_y+(M_V-1)\Delta {\varphi }_z$$

转为指数形式，就是

$$\Delta \varphi =e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(M_H-1\right)\sin \phi \cos \theta }{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(M_V-1\right)\sin \theta }={\mathrm{a}}_z(k){\mathrm{a}}_y(j)$$

这里，$k$ 和 $j$ 分别代表了$z$ 轴方向和 $y$ 轴方向的导向矢量的下标序号。

由此可见，当我们给出 $z$ 轴方向和 $y$ 轴方向的导向矢量后，整体的导向矢量可以方便地用克罗内克积（Kronecker product）求得。

$z$ 轴方向的导向矢量为

$${\mathbf{a}}_z={\left[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta },\cdots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(M_V-1\right)\sin \theta }\right]}^T$$

$y$ 轴方向的导向矢量为

$${\mathbf{a}}_y={\left[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \phi \cos \theta },\cdots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d\left(M_H-1\right)\sin \phi \cos \theta }\right]}^T$$

由此可得，整个UPA的导向矢量为

$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_z\otimes {\mathbf{a}}_y$$

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1. G5H8WEBY

   User Data³

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   Title: Deep Learning-Based Time-Varying Channel Estimation for RIS Assisted Communication

   Author: M. Xu, S. Zhang, J. Ma, O. A. Dobre

   Year: 2022

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   Abstract

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   Note

   User Data

   ↩︎

2. AHSJ9TG9

   User Data⁴

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   Title: DeepMIMO: A Generic Deep Learning Dataset for Millimeter Wave and Massive MIMO Applications

   Author: Ahmed Alkhateeb

   Year: 2019

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   Abstract

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   Note

   User Data

   ‍ ↩︎

3. User Data

   ↩︎

4. User Data

   ‍ ↩︎