电源环路基础

1 基础概念

1.1 开环传递函数与闭环传递函数

首先，我们要理解开环系统与闭环系统。在现代控制理论中，开环系统是指没有反馈的系统，也就是说这个系统是不需要传感器的，只有单向的控制环节。闭环系统也称为反馈控制系统，如图1所示。对于一个基本的负反馈闭环系统，其所有传递函数的推导都要考虑反馈环节。

图1 闭环系统控制框图

1.1.1 开环传递函数

这里的开环传递函数，并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环传递函数。他的定义是：断开反馈回路后（$H(s)$的输出端），从断开的反馈点注入信号，绕环路一周后返回该点的传递函数（这么看的话，从哪断开反馈回路不重要）；即主反馈信号 $B(s)$ 与误差信号 $E(s)$ 之比。因此可以表示为，系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数的乘积：
$$\frac{B(s)}{E(s)}=G_1(s)G_2(s)H(s)$$

$G_1(s)G_2(s)H(s)$ 表示信号在环路中循环一次的增益，直接体现了系统对稳定性的影响。

1.1.2 闭环传递函数

系统的闭环输入函数是用于描述系统在有反馈时，输入信号（也可以是噪声信号）与输出信号的关系。
在图1中，当给定输入信号 $R(s)$ ，且干扰信号 $N(s)=0$ 时，输出 $Y(s)$ 与 $R(s)$ 的关系为：
$$Y(s)=G_1(s)G_2(s)[R(s)-H(s)Y(s)]$$

整理可以得到输入信号作用下系统的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_1(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$$

同理，对于噪声信号 $N(s)$，也可以得到噪声信号作用下系统的闭环传递函数为：
$${\Phi }_n(s)=\frac{Y(s)}{N(s)}=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$$

当输入信号和噪声信号同时作用时，系统的输出为二者的叠加。

可以看到，这个闭环系统的两个闭环传递函数的分母都是相同的：$1+G_1(s)G_2(s)H(s)$。令该式等于0，就得到了闭环系统的特征方程：$G_1(s)G_2(s)H(s)=-1$，即幅值=1，相位=−180°。因此特征方程的根决定了系统的稳定性（${\log }_{10}1=0$）。

在Buck电路设计中，开环传递函数反映了信号在闭环系统中循环一周的增益和相位变化，是稳定性分析的基石。分析开环传递函数的伯德图，可以通过幅值裕度和相位裕度判断Buck电路的稳定性。闭环传递函数则反应了电源对输入信号（负载变化、噪声、输入电压等）的响应，能评估电源的抗干扰和瞬态响应能力。

一般来说，当说到系统的传递函数时，默认指的是系统的输出/输入，无关系统类型。如之前文章上提到的，Buck电路反馈网络的传递函数。

1.2 幅频响应曲线与相频响应曲线

幅频曲线和相频曲线是分析控制系统（如Buck电源环路）动态特性的基础。如图2所示，这两条曲线共同构成伯德图（Bode Plot），用于直观描述系统对不同频率信号的响应特性。

图2 伯德图

幅频曲线：
表示系统增益（放大倍数）随频率变化的曲线，纵轴为分贝（dB），横轴为频率（对数刻度）。
表示了系统对不同频率信号的放大能力。

相频曲线：
表示系统相位偏移随频率变化的曲线，纵轴为度（°），横轴为频率（对数刻度）。
表示了系统对不同频率信号的时间延迟，相同的相位偏移下，频率越高，时间延迟越短。当需要保证信号不失真时，高频部分的相位偏移要更大。

1.2.1 零点与极点

对于传递函数来说：
让传递函数的分子等于0的点称为零点，让传递函数分母为0的点称为极点。
在伯德图中：
在零点后，增益以+20dB/dec的速率上升；在零点附近（0.1~10倍零点频率），相位增加，+90°。
在极点后，增益以-20dB/dec的速率下降；在极点附近（0.1~10倍极点频率），相位减少，-90°。

1.2.2 带宽、截止频率、穿越频率、幅值裕度、相位裕度

带宽（Bandwidth, BW）

定义：系统传递函数的增益下降至-3dB（约70.7%直流增益）时，对应的频率。

意义：对于Buck电源来说，带宽能反映系统的动态响应速度，带宽越高，电源对负载瞬变的响应越快。但带宽过高会放大高频噪声（如开关纹波）。

应用：
1、设计时确保带宽小于电源开关频率的1/10至1/20；
2、依据电源的瞬态响应时间（$t_R$）的需求设计带宽，满足 $BW\approx \frac{0.3}{t_R}$。

截止频率（Cutoff Frequency）

定义：通常指系统增益下降至特定值（如−3dB或直流增益的50%）的频率，约等于带宽。

穿越频率（Crossover Frequency，$f_c$）

定义：开环传递函数增益曲线穿越0dB（增益=1）时的频率。分析时，可以认为穿越频率大致上等于系统带宽。

相位裕度（Phase Margin, PM）与幅值裕度（Gain Margin, GM）

相位裕度：在穿越频率 $f_c$ 处，相位与-180°的差值。反映系统的阻尼特性。
幅值裕度：在相位达到−180°的频率处，开环增益低于0dB的差值。用于衡量系统在临界振荡点的增益余量。

一般来说，一个稳定的Buck电源系统需要幅值裕度在10dB以上，相位裕度在45度以上。

2 Buck电源的控制模式和传递函数

Buck电源控制模式主要有非线性控制和线性控制。非线性控制有COT（恒定导通时间）控制等，它的导通时间固定，通过控制关断时间控制输出，内部没有误差放大器，只有比较器。
本次介绍的电压控制和电流控制两种模式都属于线性控制模式。

2.1 电压控制模式的Buck

图3 Buck电压控制模式结构图

电压型控制模式的Buck 结构如图3所示，由控制器与开关管、LC滤波器、分压反馈、误差放大器、脉宽调制比较器构成。电压型控制模式具有以下特点：

1、单反馈环路。
电压型控制模式只对输出电压进行采样和反馈控制。

2、高噪声抑制比。
体现在脉宽调制比较器中，其中的参考锯齿波 $V_{RAMP}$ 具有较高的电压幅值，通常在1V以上，因此对噪声不敏感。

3、需要补偿双极点。
电压型控制模式的输出LC滤波器，存在一对共轭双极点，需要进行补偿，这一点在后面进行分析。

4、控制回路不包含电流信息，难以实现电流保护和均流控制。

5、输人电压 $V_{IN}$ 会影响环路增益。
对于普通的电压型控制模式，反馈的参考锯齿波 $V_{RAMP}$ 的斜率（或幅值）是固定的，此时输入电压会存在于 Buck 电路的开环传递函数中，影响环路增益（后面会进行推导）。由于锯齿波固定，环路依赖反馈调节速度来响应输入变化。当输入电压出现瞬态变化例如振铃或浪涌时，会造成输出的瞬态变化。
对此，可以引入前馈电压控制。让參考锯齿波受输入电压控制，其斜率（或幅值）与输入电压成正比。此时可以将 $V_{IN}$的变化直接反应在 $V_{RAMP}$上，达到快速改变占空比的目的。

2.2 电流控制模式的Buck

图4 Buck电流控制模式结构图

电流控制模式的Buck大致结构如图4所示，包含电压和电流两个反馈通路。相较于电压控制模式，电流型控制模式具有更快的动态响应、更好的输入电压抑制和更简单的补偿设计。通过采样电阻或者MOSFET的导通电阻检测电感电流，得到$V_{cs}$，将其代替电压控制模式中的$V_{RAMP}$，共同控制占空比。

控制过程：
1、当开关管导通时，电感电流上升，上升斜率由 $\frac{V_{IN}-V_{OUT}}{L}$ 决定。
2、将采样信号转换为电压信号 $V_{cs}$，与电压环输出 $V_{COMP}$ 比较。
3、当 $V_{cs}$ 上升到等于 $V_{COMP}$ 时，关断开关管，等待下一个时钟周期再打开。

优点：
1、主功率路径为一阶系统，容易补偿。
电感的电流由电流环强制控制，不再由LC滤波器自然响应，使系统只保留了输出电容和负载电阻，因此系统简化为一阶系统。

2、宽带宽，动态特性好。
一阶系统只有一个极点，相位滞后小，能允许更高的穿越频率。

3、自带逐周限流，容易实现多相均流。
当对 $V_{COMP}$ 做出限制时，每个周期的电流都会受到限制。将每个芯片的 $V_{COMP}$ 保持一致，从而实现多芯片的均流。

缺点：
1、噪声敏感。
通过采样电流信号获得的电压信号，其幅值较低，容易受噪声影响，产生抖动。因此设计时要保证电流信号的变化（纹波电流）有一定幅度，也就是说电感不能选太大。

2、占空比大于50%时需要斜坡补偿。
这是一个数学问题，从三角函数来理解更简单。当占空比大于50%时，电感电流的扰动会不断变大，产生次谐波震荡。通过斜率补偿可以抑制扰动。斜坡补偿太大会导致电流信号被淹没，回到电压控制模式，太小则无法抑制次谐波震荡。
同时，由于加上了斜坡补偿，芯片的限流点会随着占空比提高而减小，芯片选型时需要考虑。理解：对于一个内部带逐周期限流的芯片，占空比越高，叠加的斜坡补偿峰值越大，越容易达到内部限流值。

3、需要消影时间，极小占空比时受限。
导通瞬间，上MOSFET需要给寄生电容等充电，下MOSFET的体二极管存在反向恢复时间，电源如果对这瞬间的大电流做出反应，会直接关断MOS，因此需要一定的消影时间。这个消影时间会影响电源高频工作时的最小占空比。

2.3 Buck的开环传递函数

在1.1.1节已经讨论过，开环传递函数表示信号在环路中循环一次的增益。以图3和图4的Buck电源为例，其开环传递函数等于各组成部分传递函数的乘积。通过分析这些传递函数，我们可以量化每个器件对环路的影响，从而更有效地设计电源系统。

开环传递函数中的反馈与误差放大部分在《探究反馈网络如何玩转DC-DC电源的环路稳定性》这篇文章中进行了分析，下文重点分析其他部分的传递函数和器件影响。

2.3.1 脉宽调制过程的传递函数

对于普通电压控制模式，脉宽调制过程的输出是一个占空比$D$，由误差放大器的输出$V_{COMP}$和参考锯齿波$V_{RAMP}$决定：

$$D=\frac{V_{COMP}}{V_{RAMP}}$$

由此，电压控制模式的传递函数可以表示为占空比和输入$V_{COMP}$的比值：

$$G_{PWM}=\frac{\Delta D}{\Delta V_{COMP}}=\frac{1}{V_{RAMP}}$$

对于带前馈的电压控制模式，參考锯齿波的斜率（或幅值）与输入电压成正比：

$$V_{RAMP}=\alpha \cdot V_{IN}$$

同理可以得到带前馈电压控制模式的传递函数：

$$G_{PWM}=\frac{\Delta D}{\Delta V_{COMP}}=\frac{1}{\alpha V_{IN}}$$

2.3.2 开关过程的传递函数

开关管的平均输出电压约等于最终的输出电压：

$$V_{SW}\approx V_{OUT}=D\cdot V_{IN}$$

传递函数为输出和输入占空比$D$的比值：

$$G_Q\approx \frac{\Delta V_{SW}}{\Delta D}=V_{IN}$$

结合电压控制模式的脉宽调制过程的传递函数，我们可以发现，对于普通的电压控制模式，输入电压会存在于电路的传递函数中：

$$G_{PWM}\cdot G_Q=\frac{V_{IN}}{V_{RAMP}}$$

而带前馈的电压控制模式中，输入电压被抵消，只剩下锯齿波的斜率（或幅值）与输入电压的比例：$\frac{1}{\alpha }$，这是一个常数。

2.3.3 输出功率级的传递函数

从上述分析可以看出，电源的脉宽调制和开关过程只影响电源环路的增益，不涉及零点与极点，对环路稳定性影响较小。并且这部分通常都集成在电源控制芯片内部，对硬件设计而言没有什么调整空间。
Buck的输出功率级主要包含输出电感、输出电容和负载，其传递函数能体现各个器件对环路的影响。并且输出功率级一般不集成在控制芯片内，在硬件设计时也能进行一定调整。

1、电压控制模式：
对于电压控制模式，其输出功率级传递函数推导如下。
电感的阻抗为：$Z_L=sL$
电容和负载电阻的并联阻抗为：
$$Z_{RC}=\frac{(\frac{1}{sC}+R_{esr})\times R_L}{\frac{1}{sC}+R_{esr}+R_L}=R_L\times \frac{s{R}_{esr}C+1}{s(R_{esr}+R_L)C+1}$$
输出 $V_{OUT}$ 是输入 $V_{IN}$ 在 $Z_{RC}$ 上的分压，可以得到功率级传递函数：
$$G_{LCR}=\frac{Z_{RC}}{Z_L+Z_{RC}}=\frac{R_L\times \frac{s{R}_{esr}C+1}{s(R_{esr}+R_L)C+1}}{R_L\times \frac{s{R}_{esr}C+1}{s(R_{esr}+R_L)C+1}+sL}=\frac{R_L\times (1+s{R}_{esr}C)}{s^{2}LC(R_L+R_{esr})+s(L+R_L{R}_{esr}C)+R_L}$$
$R_{esr}$可以视为远小于$R_L$，传递函数可以进一步化简为：
$$G_{LCR}=\frac{1+s{R}_{esr}C}{s^{2}LC+s(\frac{L}{R_L}+R_{esr}C)+1}$$

其零点可以直接写出：${\omega }_z=\frac{1}{R_{esr}C}$
其极点需要求解一个二阶系统方程：
$$s^2{R}_{L}LC+s(L+R_L{R}_{esr}C)+R_L=0$$

可以使用小学数学中一元二次方程的判别式 $\Delta =b^2-4ac<0$ 或者过程控制中的阻尼比 $\zeta <1$，来判断出极点为一对共轭复数（忽略ESR）：
$$\Delta =L^2-4R_L^{2}LC$$
$$\zeta =\frac{\frac{1}{R_{L}C}}{2\sqrt{\frac{1}{LC}}}=\frac{1}{2R_L}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

极点可以用求根公式计算为：
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a}=\frac{-L\pm \sqrt{4R_L^{2}LC-L^2}i}{2R_{L}LC}=\frac{1}{2R_{L}C}\pm \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{4R_L^2{C}^2}}i$$
所以这一对共轭极点的频率为：
$${\omega }_{p0}={\omega }_{p1}=\sqrt{\frac{1}{4R_L^2{C}^2}+(\frac{1}{LC}-\frac{1}{4R_L^2{C}^2})}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

上面计算得到的都是角频率$\omega$，转换为频率$f$还需要遵循下式：$f=\frac{1}{2\pi }\omega$

2、电流控制模式：

上述是电压控制模式，电流控制模式更为复杂。在电压控制模式的基础上，增加了电流环。其影响主要就在于输出功率级传递函数上。电流环通过快速调节电感电流，抵消了电感的惯性。因此可以被视为一个恒流源，不再显性出现在输出功率级传递函数上。此时环路中不存在LC共轭双极点，而只有电容带来的单极点。
输出 $V_{OUT}$ 是输入 $i_{IN}$ 在 $Z_{RC}$ 上的分压，可以得到功率级传递函数：
$$G_{LRC}=\frac{i_{IN}\times Z_{RC}}{i_{IN}}=R_L\times \frac{s{R}_{esr}C+1}{s(R_{esr}+R_L)C+1}$$
其零点为：${\omega }_z=\frac{1}{R_{esr}C}$
其极点为：${\omega }_p=\frac{1}{C(R_L+R_{esr})}$

2.3.4 开环传递函数总结

除了上述的控制部分和主功率级部分，影响Buck电源环路的还有很重要的一个部分：反馈环路。按反馈放大器类型可以分为电流型反馈网络和电压型反馈网络。

• 反馈环路不仅影响环路增益，更重要的是给输出功率级提供补偿零极点，是确保电源环路稳定的关键。

电压控制模式

对于电压控制模式的Buck电路来说，其环路增益由输入电压和RAMP锯齿波电压决定，为$\frac{V_{IN}}{V_{RAMP}}$。如果是前馈电压控制模式，电源增益则与输入电压无关，是固定值。

电源前向通道的极点和零点主要由电感、电容和电容ESR以及负载电阻决定。极点为 ${\omega }_{p0}={\omega }_{p1}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$，零点为${\omega }_z=\frac{1}{R_{esr}C}$。

零点为高频零点，对电源环路稳定性的影响较小。但输出电容ESR较大时，不能忽略。
两个极点对电源环路影响较大。可以看出，电感值越大，极点频率越低，功率级传递函数的带宽越低，电源的动态响应速率越慢。同理，电容值越大，也会导致电源的动态响应速率越慢。这似乎与常识不符，大电容不是能提供更大的能量蓄水池，使电源更稳定吗？没错，大电容确实能减小输出电压纹波，在静态或缓慢变化的负载下，能维持电压稳定。也就是说能维持电源稳态稳定性。但在负载瞬变时，大电容会导致LC滤波器的惯性增强。电源输出已经变化后，大电容会延缓电源调整过程。也就是说，大电容和大电感会使电源动态稳定性变差。
两个极点会带来-180°的相位变化，也就是说，相频曲线会很快达到-180°的不稳定状态，此时幅频曲线可能还没有降到足够低，导致电源系统的幅值裕度不够（<10dB）。同时，两个极点令增益以-40dB/dec的速率下降，可能使幅频曲线过快下降，导致电源系统带宽过小（系统动态响应变差）。

因此，需要反馈环路提供足够的零点来做补偿，例如加前馈电容的III型补偿（提供2个零点、2个极点、一个原点极点）。其中原点极点能提供一个无穷大的直流增益，用于消除稳态误差；其中零点用于补偿共轭极点，确保足够的相位裕度和带宽；高频极点用于在穿越频率后，快速拉低幅值曲线，确保足够的幅值裕度。

电流控制模式

对于电流控制模式，与电压控制模式类似。但由于只存在一个极点，其补偿电路更为简单。例如使用II型补偿（提供1个零点、1个极点、1个原点极点），零极点的补偿思路类似电压控制模式。

3 针对实际应用场景的总结

• 从环路稳定性考虑，电源系统尽量保证幅值裕度要求大于10dB，相位裕度要求大于45度，带宽小于开关频率的1/10至1/20。
• 电压控制模式的共轭极点需要III型补偿。
• 对于电流控制模式的芯片，要保证电流信号的变化（纹波电流）有一定幅度，电感不能选太大。
• 对于电流控制模式的芯片，芯片的限流点会随着占空比提高而减小，芯片选型时需要考虑。
• 对于电流控制模式的芯片，上管导通需要一定的消影时间，这个消影时间会影响电源高频率工作时的最小占空比。
• 通过纹波确定输出功率级电感电容的最小值，通过动态响应、电气参数限制等确定最大值；通过反馈网络补偿电源系统的环路。