P14076 [GESP202509 六级] 货物运输

题目描述

A 国有 $n$ 座城市，依次以 $1,2,\dots ,n$ 编号，其中 $1$ 号城市为首都。这 $n$ 座城市由 $n-1$ 条双向道路连接，第 $i$ 条道路（$1\le i<n$）连接编号为 $u_i,v_i$ 的两座城市，道路长度为 $l_i$。任意两座城市间均可通过双向道路到达。

现在 A 国需要从首都向各个城市运送货物。具体来说，满载货物的车队会从首都开出，经过一座城市时将对应的货物送出，因此车队需要经过所有城市。A 国希望你设计一条路线，在从首都出发经过所有城市的前提下，最小化经过的道路长度总和。注意一座城市可以经过多次，车队最后可以不返回首都。

输入格式

第一行，一个正整数 $n$，表示 A 国的城市数量。

接下来 $n-1$ 行，每行三个正整数 $u_i,v_i,l_i$，表示一条双向道路连接编号为 $u_i,v_i$ 的两座城市，道路长度为 $l_i$。

输出格式

一行，一个整数，表示你设计的路线所经过的道路长度总和。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
1 2 6
1 3 1
3 4 5

输出 #1

18

输入输出样例 #2

输入 #2

7
1 2 1
2 3 1
3 4 1
7 6 1
6 5 1
5 1 1

输出 #2

9

说明/提示

对于 $30\%$ 的测试点，保证 $1\le n\le 8$。

对于另外 $30\%$ 的测试点，保证仅与一条双向道路连接的城市恰有两座。

对于所有测试点，保证 $1\le n\le 10^5$，$1\le u_i,v_i\le n$，$1\le l_i\le 10^9$。

解析

所有的道路和城市组成了一个以首都为根节点的树，如果我们从首都出发，再返回到首都，想要路径最短，那么所有的路都要走两遍，如果无需返回首都，那么可以节省从某个叶子节点到首都的路程，那么答案为所有路径和的二倍，去掉根节点到所有节点路径长的最大值即为答案，可以使用深度优先搜索找到根节点到叶节点的最长路径，详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
vector <pair<int,int>> g[100005];//邻接表存树
long long mx=0;//根节点到叶节点的最长路径
long long sum=0;//所有路径和
//深搜u为当前节点，f为父节点，d为根节点到当前节点路径长
void dfs(int u,int f,long long d){
    mx=max(mx,d);//取路径长最大值
    for(int i=0;i<g[u].size();i++){//遍历所有子节点
        int v=g[u][i].first;//子节点
        if (v!=f){//不是父节点
            dfs(v,u,d+g[u][i].second);//继续深搜
        }
    }
}
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v,l;
        cin>>u>>v>>l;
        sum+=l;//求路径和
        g[u].push_back({v,l});//邻接表存树
        g[v].push_back({u,l});
    }
    dfs(1,0,0);//从根节点开始深搜
    cout<<sum*2-mx;
    return 0;
}