【题目来源】

洛谷：P17015 [GESP202606 七级] 消消乐 - 洛谷

【题目描述】

给定一个由 $n$ 个整数构成的数组 $a=[a_1,\dots ,a_n]$。每次你可以对数组 $a$ 进行以下操作，直到数组 $a$ 变为空：

• 指定 $a$ 中的一个元素，获得该元素两侧相邻元素之和的分数，并将该元素从 $a$ 中删去。

特别地，如果相邻元素不存在则该元素的值视为 $0$。例如，对于 $a=[1,2,3]$ 可以进行以下操作：

• 指定元素 $2$，获得分数 $1+3$，删去 $2$ 后 $a=[1,3]$；
• 指定元素 $1$，获得分数 $0+3$，删去 $1$ 后 $a=[3]$；
• 指定元素 $3$，获得分数 $0+0$，删去 $3$ 后 $a$ 变为空。

请问你能获得的分数总和最大是多少？

【输入】

第一行，一个正整数 $n$，表示数组长度。

第二行，$n$ 个非负整数 $a_1,\dots ,a_n$，表示数组 $a$ 中的整数。

【输出】

输出一行，一个整数，表示能获得的最大分数总和。

【输入样例】

6
1 6 3 2 9 1

【输出样例】

55

【核心思想】

1. 问题分析：给定数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，每次删除一个元素获得其两侧相邻元素之和的分数，求删除所有元素的最大分数总和。这是一个区间动态规划问题，核心在于分析删除顺序对得分的影响——最后删除的元素在得分时其相邻元素是固定的区间外边界。

2. 算法选择：

   • 区间 DP：设 $dp[i][j]$ 为删除区间 $[i,j]$ 内所有元素能获得的最大分数
   • 最后删除策略：枚举区间 $[i,j]$ 内最后一个被删除的元素 $k$，此时 $k$ 的相邻元素为 $a_{i-1}$ 和 $a_{j+1}$（区间外的边界元素），得分固定

3. 关键步骤：

   • 边界处理：$a_0=0$，$a_{n+1}=0$，作为虚拟边界
   • 初始化（区间长度为 $1$）：$dp[i][i]=a_{i-1}+a_{i+1}$，删除单个元素 $i$ 时得分为其两侧相邻元素之和
   • 区间 DP（$len$ 从 $2$ 到 $n$）：
     • 枚举左端点 $i$，计算右端点 $j=i+len-1$
     • 枚举最后删除的元素 $k\in [i,j]$：
       • $dp[i][j]=\max (dp[i][j],dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+a_{i-1}+a_{j+1})$
     • 解释：先分别删除 $[i,k-1]$ 和 $[k+1,j]$ 内的元素，最后删除 $k$，此时 $k$ 的相邻元素为 $a_{i-1}$ 和 $a_{j+1}$
   • 输出结果：$dp[1][n]$

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：$O(n^3)$，三层循环：区间长度 $O(n)$、左端点 $O(n)$、枚举最后删除元素 $O(n)$
   • 空间复杂度：$O(n^2)$，二维 $dp$ 数组

5. 区间动态规划的核心思想：

   • 最后删除的确定性：对于区间 $[i,j]$，无论内部删除顺序如何，最后一个被删除的元素 $k$ 在得分时，其相邻元素一定是 $a_{i-1}$ 和 $a_{j+1}$。这是因为 $[i,j]$ 内其他元素已被删除，$k$ 的左右邻居就是区间边界外的元素
   • 子问题独立性：删除 $[i,k-1]$ 和 $[k+1,j]$ 是两个独立的子问题，互不影响，满足最优子结构
   • 区间长度递增：按区间长度从小到大枚举，确保计算 $dp[i][j]$ 时，所有子区间 $dp[i][k-1]$ 和 $dp[k+1][j]$ 已经计算完成
   • 边界元素的固定贡献：最后删除 $k$ 的得分 $a_{i-1}+a_{j+1}$ 与 $k$ 的具体值无关，只与区间边界有关，这是状态转移的关键
   • 适用于元素删除顺序影响得分、且最后操作的相邻元素具有确定性特征的区间优化类问题

【算法标签】

#普及 #区间DP

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 105;                 // 常量：最大数组长度

int n;                             // n: 数组长度
int a[N];                          // a[i]: 数组元素，a[0] 和 a[n+1] 视为边界（值为0）
int dp[N][N];                      // dp[i][j]: 删除区间 [i,j] 内所有元素能获得的最大分数

signed main()
{
    cin >> n;                      // 读入数组长度

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 读入数组元素
        cin >> a[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 初始化：区间长度为 1 的情况
        dp[i][i] = a[i - 1] + a[i + 1];  // 删除单个元素 i，得分 = 左侧相邻 + 右侧相邻

    for (int len = 2; len <= n; len++)  // 枚举区间长度，从 2 到 n
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++)  // 枚举区间左端点
        {
            int j = i + len - 1;    // j: 区间右端点

            for (int k = i; k <= j; k++)  // 枚举区间内最后一个被删除的元素 k
            {
                // 状态转移：先删除 [i,k-1] 和 [k+1,j] 内的元素，最后删除 k
                // 最后删除 k 时，其相邻元素为 a[i-1] 和 a[j+1]（区间外的边界元素）
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + a[i - 1] + a[j + 1]);
            }
        }

    cout << dp[1][n] << endl;      // 输出删除整个数组 [1,n] 的最大分数

    return 0;
}

【运行结果】

6
1 6 3 2 9 1
55