论文参考：Sensorless Control of Surface-Mount Permanent-Magnet Synchronous Motors Based on a Nonlinear Observer
该观测器可不通过开环强托实现电机全速域运行

一、实现过程推导

表贴式PMSM两相静止坐标系下电压方程：
$$\{\begin{array}{rl}{u}_{\alpha }& =R_s{i}_{\alpha }+L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}+e_{\alpha }\\ u_{\beta }& =R_s{i}_{\beta }+L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+e_{\beta }\end{array}$$
其中，反电动势为：
$$\{\begin{array}{r}{e}_{\alpha }=-{\omega }_r{\psi }_f\sin \left({\theta }_r\right)\\ e_{\beta }={\omega }_r{\psi }_f\cos \left({\theta }_r\right)\end{array}$$
其中，${\omega }_r$为电角度、${\theta }_r$为转子位置、${\psi }_f$为永磁体磁链，将反电势带入得到：
$$\{\begin{array}{rl}{u}_{\alpha }& =R_s{i}_{\alpha }+L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}-{\omega }_r{\psi }_f\sin \left({\theta }_r\right)\\ u_{\beta }& =R_s{i}_{\beta }+L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+{\omega }_r{\psi }_f\cos \left({\theta }_r\right)\end{array}$$
更改顺序：
$$\{\begin{array}{rl}{u}_{\alpha }& -R_s{i}_{\alpha }=L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}-{\omega }_r{\psi }_f\sin \left({\theta }_r\right)\\ u_{\beta }& -R_s{i}_{\beta }=L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+{\omega }_r{\psi }_f\cos \left({\theta }_r\right)\end{array}$$
令:$$\{\begin{array}{rl}{y}_1=u_{\alpha }& -R_s{i}_{\alpha }\\ y_2=u_{\beta }& -R_s{i}_{\beta }\end{array}（式1-1）$$
则：
$$\{\begin{array}{r}\dot{x_1}=L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}-{\omega }_r{\psi }_f\sin \left({\theta }_r\right)=y_1\\ \dot{x_2}=L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+{\omega }_r{\psi }_f\cos \left({\theta }_r\right)=y_2\end{array}（式1-2）$$
上式中，$x$为未知的需要观测的变量，$y$为可检测的常量
${\omega }_r$为电角度、${\theta }_r$为转子位置，这两个满足：${\theta }_r={\omega }_{r}t$，则存在关系：$$(\sin {\theta }_r{)}^{\prime }=(\sin wt{)}^{\prime }=w\cos wt，(\cos {\theta }_r{)}^{\prime }=(\cos wt{)}^{\prime }=-w\sin wt$$

对$\dot{x_1}$和$\dot{x_2}$进行积分，则 满足关系：
$$\left[\begin{array}{l}x1\\ x2\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+{\phi }_m\left[\begin{array}{l}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]（式2）$$
上式中，${\phi }_m$为电机永磁体磁链，为固定值，定义

$$\eta =\left[\begin{array}{l}{\eta }_1\\ {\eta }_2\end{array}\right]={\phi }_m\left[\begin{array}{l}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x1\\ x2\end{array}\right]-L\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]（式3）$$

$\eta$满足范数：${||\eta ||}^2=|{\phi }_{1}cos\theta {|}^2+|{\phi }_{2}sin\theta {|}^2={\phi }_m^2$，根据式3定义$\eta$的观测器：

$$\hat{\eta }=\left[\begin{array}{l}\widehat{{\eta }_1}\\ \widehat{{\eta }_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\hat{x}1\\ \widehat{x2}\end{array}\right]-L\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]（式4）$$
我们需要构建一个对x的观测器观测x的状态，构建观测器如下：
$$\dot{\hat{x}}=y+K\ast \hat{\eta }\left[{\psi }_m^2-\Vert \hat{\eta }{\Vert }^2\right]（式5）$$

其中，$y$由（式1-1）给出，$K$为观测器增益，$[{\psi }_m^2-\Vert \eta (\hat{x}){\Vert }^2$为观测器驱动项，$\hat{\eta }$由（式4）给出，当$\hat{\eta }$收敛时，满足上面的黄色范数公式，此时$\hat{x}$也收敛，满足开始的x的定义（式1-1）

因为此时$\hat{\eta }$收敛，即$\hat{\eta }=\eta$，根据（式3）的定义关系，可以得到角度的观测：
$$\left[\begin{array}{l}\cos \hat{\theta }\\ \sin \hat{\theta }\end{array}\right]=\frac{1}{{\phi }_m}(\left[\begin{array}{l}\hat{x}1\\ \widehat{x2}\end{array}\right]-L\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right])（式6）$$

总结： 构建观测器 （式4）得到中间变量$\eta$的观测，再通过观测器（式5）实现x的观测，最后通过（式6）计算得到转子角度

二、仿真

锁相环：
效果：正负200转翻转：

效果很好