一、龙博格观测器简介

龙博格观测器，一种典型的全维状态观测器，通过搭建依赖系统的可测输出状态（y）与搭建的观测输出状态（hat_(y)）误差收敛实现对输入状态(x)的观测

假设一个系统为：
$$\{\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu\\ y& =Cx\end{array}$$
假设输出测定值为$y$,输出的观测值为$\hat{y}$，定义输出观测误差$y-\hat{y}$，对其求导并令其指数收敛即有：$\dot{y}-\dot{\hat{y}}=-K_1(y-\hat{y})$，将$\dot{y}=C\dot{x}，\dot{\hat{y}}=C\dot{\hat{x}}$ ，解出带入状态方程
构建观测器如下（K为增益）：
$$\{\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}& =A\hat{x}+Bu+K(y-\hat{y})\\ \hat{y}& =C\hat{x}\end{array}$$
进一步，即状态x的观测值为：
$$\dot{\hat{x}}=(A-KC)\hat{x}+Bu+Ky（式1）$$
进一步，离散化后状态x为：
$$\hat{x}(k+1)=[(A-KC)\hat{x}(k)+Bu(k)+Ky(k)]\ast T_s+\hat{x}(k)$$
在PMSM控制中，我们通过对输出状态$i_a$ 和$i_{\beta }$ 的追踪实现对反电动势$e_a$ 与$e_a$ 的观测，进而通过PLL可以提取PMSM的转子信息

二、状态变量推导

表贴式PMSM两相静止坐标系下电压方程：
$$\{\begin{array}{rl}{u}_{\alpha }& =R_s{i}_{\alpha }+L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}+e_{\alpha }\\ u_{\beta }& =R_s{i}_{\beta }+L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+e_{\beta }\end{array}$$
其中，反电动势为：
$$\{\begin{array}{r}{e}_{\alpha }=-{\omega }_r{\psi }_f\sin \left({\theta }_r\right)\\ e_{\beta }={\omega }_r{\psi }_f\cos \left({\theta }_r\right)\end{array}$$
其中，${\omega }_r$为电角度、${\theta }_r$为转子位置、${\psi }_f$为永磁体磁链

由假设近似：$\dot{{\omega }_r}=0$ ，$\frac{d{\theta }_r}{dt}={\omega }_r$从电压方程解出电流导数和反电势导数：
$$\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}=\frac{1}{L_s}(u_{\alpha }-R_s{i}_{\alpha }-e_{\alpha })$$
$$\frac{d{i}_{\beta }}{dt}=\frac{1}{L_s}(u_{\beta }-R_s{i}_{\beta }-e_{\beta })$$
$$\frac{d{e}_{\alpha }}{dt}=\frac{d}{dt}(-{\omega }_r{\psi }_f\sin ({\theta }_r))=-{\omega }_r\frac{d}{dt}({\psi }_f\sin ({\theta }_r))=-{\omega }_r[{\psi }_f\cos ({\theta }_r){\omega }_r]\approx -{\omega }_r{e}_{\beta }$$
$$\frac{d{e}_{\beta }}{dt}=\frac{d}{dt}({\omega }_r{\psi }_f\cos ({\theta }_r))={\omega }_r\frac{d}{dt}({\psi }_f\cos ({\theta }_r))\approx {\omega }_r{e}_{\alpha }$$
故而状态空间方程构建如下：
状态空间方程为：$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& -\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}\\ 0& 0& 0& -{\omega }_r\\ 0& 0& {\omega }_r& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& \frac{1}{L_s}\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ 0\\ 0\end{array}\right]（式2）$$

输出方程为：$$\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]$$

三、实现过程

仿照一、中，对上面给出的状态方程设计Lunberger观测器如下：
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\\ {\hat{e}}_{\alpha }\\ {\hat{e}}_{\beta }\end{array}\right]=\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\\ {\hat{e}}_{\alpha }\\ {\hat{e}}_{\beta }\end{array}\right]+\mathbf{B}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ 0\\ 0\end{array}\right]-\mathbf{K}\left(\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\\ {\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]\right)(式3)$$
其中，系数矩阵A、B、C为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& -\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}\\ 0& 0& 0& -{\omega }_r\\ 0& 0& {\omega }_r& 0\end{array}\right]$$

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& \frac{1}{L_s}\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$
增益矩阵为：
$$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cccc}{K}_1& 0& 0& 0\\ 0& K_1& 0& 0\\ 0& 0& K_2& 0\\ 0& 0& 0& K_2\end{array}\right]$$
其中，K1是对电流的观测增益，K2是对反电动势的观测增益
状态变量，输入矩阵，输出矩阵分别为：

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\alpha }\end{array}\right],\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

将（式3）和（式2）做差得到观测误差方程为：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{\tilde{i}}}_{\alpha }\\ {\dot{\tilde{i}}}_{\beta }\\ {\dot{\tilde{e}}}_{\alpha }\\ {\dot{\tilde{e}}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& -\frac{R_s}{L_s}& 0& -\frac{1}{L_s}\\ 0& 0& 0& -{\omega }_r\\ 0& 0& {\omega }_r& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\\ {\tilde{e}}_{\alpha }\\ {\tilde{e}}_{\beta }\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}{K}_1& 0& 0& 0\\ 0& K_1& 0& 0\\ 0& 0& K_2& 0\\ 0& 0& 0& K_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\\ {\tilde{e}}_{\alpha }\\ {\tilde{e}}_{\beta }\end{array}\right]$$

选取正确增益观测器可以收敛
对(式2)离散化后，得到反电动势的龙博格观测器为：
$$\begin{array}{rl}{\hat{i}}_{\alpha }(k+1)& ={\hat{i}}_{\alpha }(k)+T[-\frac{R_s}{L_s}{\hat{i}}_{\alpha }(k)-\frac{1}{L_s}{\hat{e}}_{\alpha }(k)+\frac{1}{L_s}{u}_{\alpha }(k)+K_1({\hat{i}}_{\alpha }(k)-i_{\alpha }(k)\left)\right]\\ {\hat{i}}_{\beta }(k+1)& ={\hat{i}}_{\beta }(k)+T[-\frac{R_s}{L_s}{\hat{i}}_{\beta }(k)-\frac{1}{L_s}{\hat{e}}_{\beta }(k)+\frac{1}{L_s}{u}_{\beta }(k)+K_1({\hat{i}}_{\beta }(k)-i_{\beta }(k)\left)\right]\\ {\hat{e}}_{\alpha }(k+1)& ={\hat{e}}_{\alpha }(k)+T[-{\hat{\omega }}_e{\hat{e}}_{\beta }(k)+K_2({\hat{i}}_{\alpha }(k)-i_{\alpha }(k)\left)\right]\\ {\hat{e}}_{\beta }(k+1)& ={\hat{e}}_{\beta }(k)+T[{\hat{\omega }}_e{\hat{e}}_{\alpha }(k)+K_2({\hat{i}}_{\beta }(k)-i_{\beta }(k)\left)\right]\end{array}$$
T为采样时间

四、仿真

simulink搭建仿真验证如下：

选取合适增益后运行，用示波器查看i_α和hat(i_α)波形发现观测收敛，如下：

反电动势为：