互易定理实战之超声前端电路设计

前言

最近在学习TOF（Time of Flight）技术，为了在学习中实践，在实践中学习，我打算搭建一个简易的超声波流量传感器系统。在策略上我打算使用TDC来完成对时间差的测量，在翻阅TI的参考设计指南中发现了其中使用了互易定理来解决温漂现象，其过程有不解与收获，故作此文分享。

超声波流量计工作原理

超声波水表的核心原理就是测量时间差，我的设备原理如下：

换能器1和换能器2均穿过了管壁和被测介质直接接触。该流量计采用时差法来得到被测介质的体积流量，基本原理采用这对斜配置的换能器来测量顺逆流的渡越时间实现。由于当被测介质流过管段时，会给顺流的超声波"加速"并且给逆流的超声波"减速"，顺逆流所测的时间会不同。因此，可以通过顺逆流的时间差来获得被测介质的平均流速从而结合管段结构参数来获得体积流量。

数学推导

其中，顺流时间为：$$t_1=\frac{d/\cos \theta }{c+v\sin \theta }$$

逆流时间为：$$t_2=\frac{d/\cos \theta }{c-v\sin \theta }$$

根据顺流时间与逆流时间可以求得时间差：

$$\Delta t=t_2-t_1=\frac{2vd\tan \theta }{c^2-v^2{\sin }^2\theta }\approx \frac{2vd\tan \theta }{c^2}$$

从而可以求得被测介质流速为：$$v\approx \frac{c^2\Delta t}{2d\tan \theta }$$

根据被测介质流速，假设被测管段为圆形管道，可以求得体积流量为：

$$Q=\frac{\pi d^2}{4}\cdot v=K\cdot \frac{c^{2}d\Delta t}{\tan \theta }$$

其中：

• $Q$ 为体积流量
• $K$ 为修正系数
• $c$ 为被测介质中的声速
• $d$ 为管道直径
• $\Delta t$ 为顺逆流时间差
• $\theta$ 为入射倾角

温漂问题的挑战

然而，设计超声水表最令人头疼的问题是温漂，温漂现象产生的主要原因是超声波流量传感器正逆向电路及换能器不完全对称所导致，其中换能器参数的不对称是主要原因。温度漂移值本身并不大，其对超声波流量传感器的影响主要集中在小流量测量上。

在翻阅TI设计指南中，这样描述道：

“为了提高或有效消除静态流条件下的 ATOF-偏移，需要高度对称的发射和接收信号路径。可以使用基于电声互易性原理的阻抗匹配解决方案来控制路径的电气阻抗。一个良好实现的阻抗匹配功能会导致电路以"充分互易的"方式运行。这种功能的好处是显著减少了 ATOF校准的工作量，因为良好的匹配发射接收路径将误差减少到可忽略不计的程度，并在零流量下，在操作压力和温度范围内，误差漂移非常小，而与传感器的失配无关。该电路包括一个TS3A44159双向4通道单刀双掷（SPDT）模拟开关。”

接着给出参考设计电路图：

接下来介绍互易定理以及分析这个电路。

互易定理基础理论

互易定理定义

当电路中只有一个输入（激励）元件的时候，输出（响应）量一定。交换输入输出的位置，对同一个输入产生的输出相同。

如图，两个电路等式成立：

$$i_1=\widehat{i_2}$$

举例验证

计算：

$$i_2=\frac{V_s}{R_1+\frac{R_3\cdot R_2}{R_3+R_2}}\cdot \frac{R_3}{R_3+R_2}=\frac{V_S\cdot R_3}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$$

$$\widehat{i_1}=\frac{V_s}{R_2+\frac{R_1\cdot R_3}{R_1+R_3}}\cdot \frac{R_3}{R_1+R_3}=\frac{V_S\cdot R_3}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$$

所以：
$$i_2=\widehat{i_1}$$

注意：所有的端口电流都约定为流入网络。需要统一的流入端口方向。

要么从外指向内，要么从内指向外。如图：

互易定理适用于线性、双边（R/L/C）网络。

特勒根定理基础

互易定理的本质是特勒根定理：

对两个拓扑一致（同一有向图 Q，结点数相同、支路一一对应、参考方向一致）的集总网络，不论支路具体元件如何、线性或非线性、随时间是否变化，只要各自满足 KCL/KVL，则对任意时刻 t 都有：

$$\sum _{k=1}^b{u}_k(t)i_k^{\prime }(t)=0,\sum _{k=1}^b{u}_k^{\prime }(t)i_k(t)=0$$

其中：

• $u_k(t),i_k(t)$ —— 网络1第 $k$ 条支路的电压、电流
• $u_k^{\prime }(t),i_k^{\prime }(t)$ —— 网络2第 $k$ 条支路的电压、电流
• $b$ —— 支路数
• 电压、电流取关联参考方向（电流方向与电压正向一致）

很显然，互易定理两个电路的拓扑是一致的。

互易定理的三种常见形式

所以衍生出来了这几种互易定理：

1. 激励为电压源，响应为短路电流

推导：

特勒根定理：
$$i_1\cdot 0+i_2\cdot \widehat{u_s}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=\widehat{i_1}\cdot u_s+\widehat{i_2}\cdot 0+\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$$

化简${\sum }_{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}$与${\sum }_{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$：

不管是L,C,R元件，他们都可以称之线性元件，把他们的电阻统称为阻抗Z。线性元件适用于特勒根定理

$$\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot i_k\cdot z_k=\sum _{k=3}^n\widehat{u_k}\cdot i_k$$

所以：
$$\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$$

所以等式化简成：
$$i_1\cdot 0+i_2\cdot \widehat{u_s}=\widehat{i_1}\cdot u_s+\widehat{i_2}\cdot 0$$

$$i_2\cdot \widehat{u_s}=\widehat{i_1}\cdot u_s$$

结论：
$$\frac{i_2}{u_s}=\frac{\widehat{i_1}}{\widehat{u_s}}$$

2. 激励为电流源，响应为开路电压

推导：

特勒根定理：
$$i_1\cdot \widehat{u_1}+i_2\cdot \widehat{u_2}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=0$$

$$\widehat{i_1}\cdot u_1+\widehat{i_2}\cdot u_2+\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=0$$

由于 $i_2=0$，$\widehat{i_1}=0$：

$$i_1\cdot \widehat{u_1}+0\cdot \widehat{u_2}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=0$$

$$0\cdot u_1+\widehat{i_2}\cdot u_2+\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=0$$

$$i_1\cdot \widehat{u_1}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=\widehat{i_2}\cdot u_2+\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=0$$

其中${\sum }_{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}$跟${\sum }_{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$为拓扑结构相同的N电路计算出的算子。

化简${\sum }_{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}$与${\sum }_{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$：

不管是L,C,R元件，他们都可以称之线性元件，把他们的电阻统称为阻抗Z。线性元件适用于特勒根定理

$$\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot i_k\cdot z_k=\sum _{k=3}^n\widehat{u_k}\cdot i_k$$

所以：
$$\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$$

所以等式化简成：
$$i_1\cdot \widehat{u_1}=\widehat{i_2}\cdot u_2$$

结论：
$$\frac{\widehat{u_1}}{\widehat{i_2}}=\frac{u_2}{i_1}$$

$$\frac{\widehat{u_1}}{\widehat{i_s}}=\frac{u_2}{i_s}$$

3. 激励为电流源，响应为开路电压（变形）

推导：

特勒根定理：
$$i_1\cdot \widehat{u_1}+i_2\cdot \widehat{u_s}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=0$$

$$\widehat{i_1}\cdot u_1+\widehat{i_2}\cdot u_2+\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=0$$

$\widehat{u_s}$的符号方向取为上+下-

由于 $\widehat{i_1}=0$，$u_2=0$：

$$i_1\cdot \widehat{u_1}+i_2\cdot \widehat{u_s}+\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=0$$

$$\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=0$$

其中${\sum }_{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}$跟${\sum }_{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$为拓扑结构相同的N电路计算出的算子。

化简${\sum }_{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}$与${\sum }_{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$：

不管是L,C,R元件，他们都可以称之线性元件，把他们的电阻统称为阻抗Z。线性元件适用于特勒根定理

$$\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot i_k\cdot z_k=\sum _{k=3}^n\widehat{u_k}\cdot i_k$$

所以：
$$\sum _{k=3}^n{i}_k\cdot \widehat{u_k}=\sum _{k=3}^n\widehat{i_k}\cdot u_k$$

所以等式化简成：
$$i_1\cdot \widehat{u_1}=-i_2\cdot u_s$$

又因为 $i_s=-i_1$

所以 $i_s\cdot \widehat{u_1}=-i_2\cdot u_s$

结论：
$$\frac{\widehat{u_1}}{u_s}=\frac{i_2}{i_s}$$

互易定理三种常见形式总结

电压源激励 → 电流响应

$$\frac{i_2}{u_s}{|}_{\text{1端激励}}=\frac{\widehat{i_1}}{\widehat{u_s}}{|}_{\text{2端激励}}$$

电流源激励 → 电压响应

$$\frac{u_2}{i_s}{|}_{\text{1端激励}}=\frac{\widehat{u_1}}{\widehat{i_s}}{|}_{\text{2端激励}}$$

电流源激励 → 开路电压响应（或者等价地"短路电流互易"）

$$\frac{\widehat{u_1}}{i_s}=\frac{\widehat{u_s}}{i_2^{sc}}$$

重要注意事项

互易定理与特勒根定理在符号上非常容易出错，特勒根定理要求统一关联参考方向（统一是非关联或者关联）。

参考方向复习

以防电路方向知识过于久远有所遗忘，这里介绍：

关联与非关联是由电压与电流决定的，电压的参考±与电流的流向：

• 电流从+流向-为关联
• 电流从-流向+为非关联

如图，对于电压源，电流由-流向+，所以是非关联的；对于电阻这里，电流由+流向-所以是关联的。

想要修改关联不关联，要么修改电流参考方向，要么修改各自的u的参考方向：

• 修改电源的参考方向为上-下+，此时就关联了
• 把电阻的参考方向修改成左-右+，此时就非关联了
• 把电流方向反转，此时电压源关联，电阻不关联

适用条件

• 特勒根定理的拓扑元件范围都规定了要满足KCL KVL
• 互易定理规定了元件是线性无源的
• LCR属于线性元件，在电路中加入都能满足KCL KVL

线性元件与非线性元件的区别

一个元件（或系统）是 线性的，如果它满足两个基本性质：

齐次性（比例性）

• 若输入放大 $k$ 倍，输出也放大 $k$ 倍
• 数学上：若 $x(t)\mapsto y(t)$，则 $kx(t)\mapsto ky(t)$

可加性（叠加性）

• 若输入 $x_1(t)$ 得输出 $y_1(t)$，输入 $x_2(t)$ 得输出 $y_2(t)$，那么输入 $x_1+x_2$ 得到的输出是 $y_1+y_2$

线性元件：电压电流关系是一次方程/微分方程（比例关系、微分、积分），满足叠加。

非线性元件：电压电流关系涉及指数、平方、绝对值、分段函数等，不能直接套叠加。

线性元件（满足叠加）

• 电阻：$u=Ri$
• 电感：$u=L\frac{di}{dt}$
• 电容：$i=C\frac{du}{dt}$
• 互感：$u_1=L_1\frac{d{i}_1}{dt}+M\frac{d{i}_2}{dt}$，$u_2=M\frac{d{i}_1}{dt}+L_2\frac{d{i}_2}{dt}$，其中 $M_{12}=M_{21}$
• 理想运放（小信号模型里，输入输出关系是线性的）

非线性元件（不满足叠加）

• 二极管：$i=I_s(e^{u/U_T}-1)$，指数关系，不满足线性
• 三极管：Ebers-Moll 模型 $i_c=I_s(e^{u_{be}/U_T}-1)$，非线性
• MOSFET：$i_d=k(u_{gs}-U_{th}{)}^2$（饱和区近似），非线性
• 饱和铁芯电感：$L$ 随电流变化，不再是常数，非线性

互易定理在超声波温漂问题中的应用

那么，是如何应用互易定理解决超声波温漂的问题呢？

温漂问题分析

先分析为什么温度会影响超声波的测量：

温漂现象产生的主要原因是超声波流量传感器正逆向电路及换能器不完全对称所导致，其中换能器参数的不对称是主要原因，直接表现为换能器的谐振频率不同。

换能器的谐振频率的不同会导致超声信号的频率不同，从而导致渡越时间测量误差。换能器参数不一致不仅有制造上的原因，老化不充分、材质不可逆变化以及内部物理特性变化也是重要原因。

压电换能器等效电路

压电超声换能器等效电路图：

其中：

• $C_0$ 和 $C_1$ 分别等效为平行板电容和弹性电容
• $C_0$ 的值和 $C$ 的值一般相差几个数量级
• $L$ 为机械振动的等效电感
• $R$ 为机械振动摩擦的等效电阻

在超声频率下，压电材料的机械阻尼很低，等效 $R$ 值通常在几欧姆甚至更低，而电容 $C_0$ 和电感 $L$ 的反应阻抗远大于 $R$。

略去 $R$ 的情况下，压电换能器的等效阻抗为：

$$X=\frac{-\frac{1}{\omega C_0}(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{-\frac{1}{\omega C_0}+(\omega L-\frac{1}{\omega C})}=\frac{{\omega }^{2}LC-1}{\omega (C_0-{\omega }^{2}L{C}_{0}C)}$$

谐振频率特性

当 $f=f_s$ 时（$f_s$ 为超声换能器的谐振频率）$L$ 和 $C$ 串联的支路产生串联谐振，$X=0$，此时：

$${\omega }^{2}LC-1=0$$

当 $f_s<f<f_p$ 时，LRC支路呈电感性，它与电容 $C_0$ 构成并联谐振回路，其并联谐振频率为：

$$f_p=\frac{1}{2\pi \sqrt{L\frac{C{C}_0}{C+C_0}}}=f_s\sqrt{1+\frac{C}{C_0}}$$

对于一般的超声换能器来说，$C\ll C_0$，因此串联谐振频率 $f_s$ 和并联谐振频率 $f_p$ 相当接近，一般可以在换能器两端并联小电容等方式来做频率微调，使并联电容后的谐振频率在串联谐振频率 $f_s$ 和并联谐振频率 $f_p$ 之间的一个狭窄的范围内变化。

由于超声波换能器振动时有串联谐振和并联谐振，并且两者的振动频率有一定差别，这就可能导致一对换能器中，一个处于串联谐振而另一个处于并联谐振。在超洁净液体超声波流量传感器中，这对超声换能器的频率不一致就会引起测量误差。

串联谐振 $f_s$ 和并联谐振 $f_p$ 是有偏差的，这导致了测量的时间差，和接收的幅值会有跳动。

互易定理的应用

再来看如何互易。

超声波测量系统等效电路

其中：

• $V_S$ 为激发电压
• $Z_1$ 和 $Z_2$ 分别为换能器1和换能器2的等效阻抗
• $V_1$ 和 $I_1$ 为顺流过程中经过换能器1的电压和电流
• $V_2$ 和 $I_2$ 为顺流过程中经过换能器2的电压和电流
• $V_1^{\prime }$ 和 $I_1^{\prime }$ 为逆流过程中经过换能器1的电压和电流
• $V_2^{\prime }$ 和 $I_2^{\prime }$ 为逆流过程中经过换能器2的电压和电流
• $Z_s$ 和 $Z_L$ 分别为激发电路的阻抗和接收电路的阻抗

特勒根定理计算

$$[V_1{I}_1^{\prime }-V_1^{\prime }{I}_1]+[V_2{I}_2^{\prime }-V_2^{\prime }{I}_2]=0$$

$$Z_1=\frac{V_1}{I_1},Z_2=\frac{V_2^{\prime }}{I_2^{\prime }}$$

$$Z_L=-\frac{V_2}{I_2}=-\frac{V_1^{\prime }}{I_1^{\prime }}$$

$$V_S=(Z_S+Z_1)I_1=(Z_S+Z_2)I_2^{\prime }$$

经过推导得到：

$$\frac{I_1^{\prime }}{I_2}=\frac{(Z_S+Z_1)(Z_L+Z_2)}{(Z_S+Z_2)(Z_L+Z_1)}$$

互易条件

换能器由于制造工艺的原因本身的等效阻抗并不完全一致，因此 $Z_1\ne Z_2$。若要使顺逆流接受电流信号比为1，即 $I_1^{\prime }=I_2$，使 $Z_L=Z_S$ 即可。

因此，若激发电路和接收电路的阻抗保持一致，就可以使顺逆流的接收信号保持一致。

TI参考电路分析

再来分析电路：

电路拆分分析

发射电路： 接收电路：

初步等效电路

刚开始等效的电路：

发射电路阻抗分析

发射电路中 $Z_s$ 分析：

电压源 $U_s$ 将 $R_2$ 短路连接到地，此时 $R_1$ 与 $C_1$ 并联

等效阻抗：$Z_s=R_1\parallel Z_c$

其中 $Z_c$ 为电容 $C_1$ 的等效阻抗

接收电路阻抗分析（初步认识）

接收电路中 $Z_L$ 分析：

我认为，RX端输入端第一级必然是接入运算放大器的跟随器电路，所以将输入电阻设定为无穷大，相当于开路

所以此时的 $Z_L=R_3$

疑问与文献调研

乍一看，左看右看愣是看不出 $Z_L=Z_s$

翻阅大量文献发现，多篇研究论文都采用了类似的方法来简化阻抗分析：

文献1：清华大学的研究

李文博，袁涛在《超声波流量计静水时差温度漂移的解决方法》中提到：

“如图2所示，一般的测量电路可以等效为发射、接收这两个电路，在发射电路中，$Z_s$ 仅由 $R_{IN}$ 组成，而因为接收电路后端的信号处理电路往往比较复杂，$Z_L$ 的组成就变得比较复杂并且往往是非线性的。为了降低 $Z_L$ 组成的复杂性，同时不影响信号处理电路的正常工作，本文将接收电路修改为如图3(b)所示的电路，即在信号处理电路前加入运算放大器。根据运算放大器的工作原理可知，$R_{OUT}$ 连接到运算放大器的那一端虚地，因此，可以认为 $Z_L$ 仅由 $R_{OUT}$ 组成。于是，在修改后的收发测量电路中，只需要使 $R_{IN}=R_{OUT}$ 就可以使 $Z_s$ 与 $Z_L$ 接近相等，从而提高系统的互易性。”

—— 李文博，袁涛（清华大学 自动化系，北京 100084）

文献2：天津大学的研究

郑丹丹，付星熠，杨志斌在《抑制气体超声波流量计零点漂移的互易性电路设计》中描述：

“超声波初级接收电路如图2所示。主要由模拟切换开关和电压跟随电路组成。接收电路中使用的模拟开关与发射电路使用的模拟开关相同，其导通阻值可以完全抵消。在电压跟随电路中，运算放大器的放大倍数足够大，在分析电路时可以认为，运放两输入端的电位近似相等，流过运放输入端的电流近似为零。接收电路的等效阻抗就可以看成模拟开关的导通阻值与匹配电阻R的和，而与后续的放大电路无关。”

—— 郑丹丹，付星熠，杨志斌（天津大学 电气与自动化工程学院 天津市过程检测与控制重点实验室，天津 300072）

小结

大量使用互易定理分析超声波时差的文献都使用了运算放大器虚短接地的办法来简化输入阻抗的分析，第一级的输入并不是连接电压跟随器。那么，TI的TDC1000的第一级输入到底电路是如何的呢？

这是TDC1000手册上的接收电路图：

可以看到TDC1000也是使用虚短的原理将输入接地了。

修正接收电路阻抗分析

所以，应该纠正接收电路等效阻抗的电路图：

此时电阻与电容并联：

$$Z_L=Z_c\parallel R$$

这时候 $Z_s$ 就等于 $Z_L$ 了！

开关选择的深入思考

还有一个问题：

TS3A44159PWR是一个单刀双掷的四通道的模拟开关，观察电路产生思考，能否换成单刀双掷双通道的模拟开关？使用单刀双掷的四通道是不是有它的特殊考虑？

不同通道数开关的对比分析

把开关的等效阻抗看作 $Z_w$，分别加入单刀双掷四通道和单刀双掷双通道分析：

四通道方案：

$$Z_s=(Z_w+R)\parallel (Z_c+Z_w)$$

$$Z_L=(Z_w+R)\parallel (Z_c+Z_w)$$

$$Z_s=Z_L$$

两通道方案：

$$Z_s=Z_w+(R\parallel Z_c)$$

$$Z_L=Z_w+(Z_c\parallel R)$$

$$Z_s=Z_L$$

结论

所以双通道也可以用。

而为什么TI使用四通道，或许是我考虑不周，或许是TI有其他考虑，大家不妨发表一下意见。

可能的原因分析

这是GPT给出的答案：

他说是为了兼容差分模式，我觉得倒有几分道理。

总结与思考

通过本文的分析，我们了解了：

1. 超声波流量计的基本原理：通过测量顺逆流的时间差来计算流量
2. 温漂问题的根源：换能器参数不对称导致的测量误差
3. 互易定理的理论基础：基于特勒根定理的电路分析方法
4. 互易定理的实际应用：通过阻抗匹配实现温漂补偿
5. TI参考设计的电路分析：虚短接地原理在阻抗分析中的应用

最后，非常希望有大佬能够看到并解答关于"TI为什么使用四通道的单刀双掷而不使用两通道"的问题，以及我的理解是否正确或有所偏差，还望给予纠正，我将非常感谢！

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