PWM DAC

PWM概念本身很简单，具体可以参考各网上资料。

PWM：脉冲宽度调制（英语：Pulse-width modulation，缩写：PWM），简称脉宽调制，是用脉冲来输出模拟信号的一种技术，一般变换后脉冲的周期固定，但脉冲的工作周期会依模拟信号的大小而改变。

PWM DAC就是通过PWM输出，经过滤波后达成模拟输出的技术。

实现目标

这里实现一个LED呼吸灯

构建RC滤波器

直接将PWM输出作为LED输入虽然不会产生明显的影响，但PWM本身存在极大的波纹，对于各种电子器件是不好的，因此需要RC滤波来减小波纹。

假设PWM时钟设定如下

• 系统时钟：72M

• PWM分辨率：取8位，即每个PWM周期含$2^8$个系统时钟滴答数，对应可有$2^8+1$种占空比信号，对应$2^8+1$种DAC水平。

  需要明确的是，取n位只是一个为了方便的约定说法。最高的可设定分辨率与ARR寄存器（Auto-reload Register）有关，对于16位的ARR寄存器来说，可设定$2^{16}$种值。如果ARR寄存器设定为k，则在一个PWM周期内，则可划分k+1种占空比的PWM信号

• PWM频率：$\frac{72M}{2^8}=281250$Hz

则对于以上PWM信号，需要对其281250Hz的一次谐波$A_1$进行滤波处理：

$$A_1=\frac{2}{\pi }(V_h-V_l)sin(\pi p-\pi )$$

经过周期信号的傅立叶变换，可将信号分解为直流与n阶谐波信号，这这里的一阶即为与PWM同频率的三角函数波，即基波

• 当占空比p取0.5时$A_1$最大为$A_{1max}=\frac{2}{\pi }(V_h-V_l)=\frac{2\times 3.3V}{\pi }$
• 对于一般PWM DAC要求，$A_{1max}$不应大于PWM直流分量的分辨率，即$\frac{3.3V}{2^8}$，对于更高要求，可取其一半，这里取其一半

综上，要求对281250Hz谐波的最大值从$A_{1max}=\frac{2\times 3.3V}{\pi }$抑制到$\frac{3.3V}{2^9}$（取一半），二者比值为$\frac{\pi }{2^{10}}$，转换为分贝为$-20lg(\frac{\pi }{2^{10}})=-50dB$。

因为设计RC一阶滤波需要知道其截止频率$f_c$，即-3dB处频率。需要通过$(271kHz,-50dB)$计算$(f_c,-3dB)$。

对于RC一阶低通滤波器滤波，其幅频响应如下：
$$|H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_c}\right)}^2}}$$
$H(f)$是幅度-频率响应，指$\frac{Vout}{Vin}$。$f_c$是-3dB处频率，即截止频率。

可以用LTspice进行仿真

V1 in 0 AC 1
R1 in out 1k
C1 out 0 10n

* 交流分析
.ac dec 100 1 1Meg

.backanno
.end

绿色实线就是幅度-频率响应。

这里使用两组一阶RC串联，因此幅度-频率响应表达式为二者相乘：
$$|H(f)|=\frac{1}{1+{\left(\frac{f}{f_c}\right)}^2}$$
代入$H=\frac{\pi }{2^{10}},f=271kHz$就可以得到截止频率常量$f_c$，注意是一组RC的截止频率。

根据RC截止频率计算公式可计算得RC：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

可通过LTspice仿真查看PWM的滤波效果：